Постройте график функции y=−x2−11x+4∣x+6∣−30. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+6=0⇒x=−6.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<−6. Получаем y=−x2−15x−54.
Случай 2: x⩾−6. Получаем y=−x2−7x−6.
Таким образом: y={−x2−15x−54,−x2−7x−6,x<−6,x⩾−6. Вершина левой ветви: (−7,5;2,25), вершина правой ветви: (−3,5;6,25). Таблица значений для левой ветви:
x:−8,−7,−6 y:2,2,0
Таблица значений для правой ветви:
x:−6,−5,−4,−3 y:0,4,6,6
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{2,25}.
