Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=4|x+6|-x^{2}-11x-30.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+6=0 \Rightarrow x=-6

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<-6

, тогда

|x+6|=-(x+6)

.
Получаем

y=- x^{2} - 15 x - 54

.

Случай

2

x\geqslant -6

, тогда

|x+6|=x+6

.
Получаем

y=- x^{2} - 7 x - 6

.

Таким образом:

y=\begin{cases}- x^{2} - 15 x - 54, & x<-6,\\- x^{2} - 7 x - 6, & x\geqslant -6.\end{cases}

В граничной точке

x=-6

проверим значения обеих формул:

y_1(-6)=- (-6)^{2} - 15\cdot (-6) - 54=0,\qquad y_2(-6)=- (-6)^{2} - 7\cdot (-6) - 6=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(-6; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} - 15 x - 54

имеем

a=-1

b=-15

c=-54

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-15}{2\cdot(-1)}=-7{,}5.

y_0=-1\cdot(-7{,}5)^2-15\cdot(-7{,}5)-54=2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-7{,}5; 2{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=- x^{2} - 7 x - 6

имеем

a=-1

b=-7

c=-6

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-7}{2\cdot(-1)}=-3{,}5.

y_0=-1\cdot(-3{,}5)^2-7\cdot(-3{,}5)-6=6{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-3{,}5; 6{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{0\} \cup\{2{,}25\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи