Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГЭ 2026 (досрок)

В кубе

ABCDA_1B_1C_1D_1

все рёбра равны

6.

а) Докажите, что угол между прямыми

AC

BC_1

равен

60^{\circ}

.
б) Найдите расстояние между

AC

BC_1

Решение

а) Проведём

AD_1\parallel BC.

Тогда

\angle(BC_1;AC)=\angle(AD_1;AC)=\angle DA_1C.

Стороны

AD_1, \ AC, \ D_1C

являются диагоналями равных квадратов, значит, они равны и

\triangle D_1AC

равносторонний. Тогда все его углы, в частности, угол

D_1AC

, равны

60^{\circ}

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей параллельно ей через другую прямую.
Заметим, что

BC_1\parallel AD_1

, тогда

BC_1\parallel (AD_1C)

. Так как плоскость

(ADC_1)

параллельна прямой

BC_1

и содержит прямую

AC

, то

\rho(BC_1;AC)=\rho(BC_1;ADC_1)=\rho(C_1;ADC).

Рассмотрим треугольную пирамиду

AD_1CC_1

и запишем её объём двумя способами:

V_{ADCC_1}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle D_1CC_1}\cdot AD=\dfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle AD_1C}\cdot \rho(C_1;ADC).

$Изображение 2$

Выразим искомое расстояние:

\rho(C_1;ADC)=\dfrac{S_{\triangle D_1CC_1}\cdot AD}{S_{\triangle AD_1C}}. \quad (*)

По теореме Пифагора для

\triangle ADC

получим

AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}.

Найдём площадь треугольника

AD_1C

S_{\triangle AD_1C}=\dfrac{(6\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}.

Найдём площадь треугольника

DCC_1

S_{\triangle D_1CC_1}=\dfrac{1}{2}\cdot D_1C_1\cdot CC_1=\dfrac{1}{2}\cdot6^2=18.

Тогда из выражения (*) получим

\rho(C_1;ADC)=\dfrac{18\cdot 6}{18\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.

Ответ:

2\sqrt{3}.

Координатный метод:
a) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке

B

, ось

Ox

направим вдоль ребра

BA

, ось

Oy

направим вдоль ребра

BC

, ось

Oz

направим вдоль ребра

BB_1

$Изображение 3$

В этой системе отсчёта верны координаты

B(0;0;0); \quad C_1(0;6;6); \quad \overrightarrow{BC_1}(0;6;6);

A(6;0;0); \quad C(0;6;0); \quad \overrightarrow{AC}(-6;6;0).

Пусть

\varphi-

искомый угол. По формуле косинуса угла между прямыми получим

\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{BC_1}\cdot \overrightarrow{AC}| }{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{BC_1}|}=\dfrac{|0\cdot(-6)+6\cdot 6+6\cdot 0|}{\sqrt{0^2+6^2+6^2}\cdot\sqrt{(-6)^2+6^2+0^2}}=\dfrac{36}{72}=\dfrac{1}{2}.

Таким образом,

\varphi=60^{\circ}.

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей параллельно ей через другую прямую.
Пусть

\alpha

-- плоскость, проходящая через

AC

параллельно

BC_1

. Если плоскость параллельна прямой, то нормаль к ней перпендикулярна направляющему вектору этой прямой, то есть их скалярное произведение равняется нулю.
Составим уравнение плоскости

\alpha

в виде

Ax+By+Cz+D=0

\begin{cases}6A+D=0,\\6B+D=0,\\6B+6C=0;\\\end{cases}\quad\begin{cases}A=-\dfrac{D}{6},\\[2ex]B=-\dfrac{D}{6},\\[2ex]A=\dfrac{D}{6}.\\\end{cases}

Запишем уравнение плоскости

\alpha

и преобразуем его:

-\dfrac{D}{6}x-\dfrac{D}{6}y+\dfrac{D}{6}z+D=0; \quad |:-\dfrac{D}{6}

x+y+z-6=0.

Найдём искомое расстояние как расстояние от точки

B

до плоскости

\alpha

. По формуле расстояния от точки до плоскости получим

\rho(B;\alpha)=\dfrac{|1\cdot0+1\cdot 0-1\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=2\sqrt{3}.

Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи