Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Задание 24
Скопировать ссылку
e1a56988
Внутри параллелограмма
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
выбрали произвольную точку
E
E
E
.
Докажите, что сумма площадей треугольников
B
E
C
BEC
BEC
и
A
E
D
AED
A
E
D
равна половине площади параллелограмма.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
1) Из точки
E
E
E
опустим перпендикуляры к параллельным сторонам
A
D
AD
A
D
и
B
C
BC
BC
.
Обозначим расстояния до этих сторон через
h
1
h_1
h
1
и
h
2
h_2
h
2
.
2) Так как
A
D
∥
B
C
AD\parallel BC
A
D
∥
BC
,
сумма расстояний от внутренней точки до двух параллельных сторон равна высоте параллелограмма:
h
1
+
h
2
=
h
h_1+h_2=h
h
1
+
h
2
=
h
.
3) Площади нужных треугольников равны
S
B
E
C
=
1
2
B
C
⋅
h
1
S_{BEC}=\frac12\,BC\cdot h_1
S
BEC
=
2
1
BC
⋅
h
1
и
S
A
E
D
=
1
2
A
D
⋅
h
2
S_{AED}=\frac12\,AD\cdot h_2
S
A
E
D
=
2
1
A
D
⋅
h
2
.
Но в параллелограмме
A
D
=
B
C
AD=BC
A
D
=
BC
.
4) Следовательно,
S
B
E
C
+
S
A
E
D
=
1
2
A
D
(
h
1
+
h
2
)
=
1
2
A
D
⋅
h
=
1
2
S
A
B
C
D
S_{BEC}+S_{AED}=\frac12 AD(h_1+h_2)=\frac12 AD\cdot h=\frac12 S_{ABCD}
S
BEC
+
S
A
E
D
=
2
1
A
D
(
h
1
+
h
2
)
=
2
1
A
D
⋅
h
=
2
1
S
A
BC
D
.
