Найдите наименьшее значение функции y=(3x2+21x−21)⋅ex на отрезке [−5;3].
Ответ:
Решение
Найдём производную:
y′=(3x2+21x−21)′⋅ex+(3x2+21x−21)⋅(ex)′==(6x+21)ex+(3x2+21x−21)ex=(6x+21+3x2+21x−21)⋅ex==(3x2+27x)⋅ex. Найдём нули производной:
(3x2+27x)⋅ex=0;x2+9x=0;x(x+9)=0.x1=−9,x2=0. Отметим на оси Ox нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
Заметим, что y′(−1)=−24e−1<0. Поэтому производная меняет знак с «+» на «−» в точке x=−9 и с «−» на «+» в точке x=3.
Значит, x=0 -- точка минимума функции y. Поэтому наименьшее значение функции на отрезке [−5;3] достигается в точке x=0:y(0)=(3⋅02+21⋅02−21)⋅e0=−21.
