а) Решите уравнение (2sinx - cosx)(1 + cosx)… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

УравненияЕГКР 16.12.2025

а) Решите уравнение

(2\sin{x} - \cos{x})(1 + \cos{x}) = \sin^2{x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{17\pi}{2};\dfrac{19\pi}{2}\right]

Решение

а) Преобразуем уравнение с помощью группировки:

2\sin{x} + 2\sin{x}\cos{x} - \cos{x} - \cos^2{x} = \sin^2{x};

2\sin{x} + 2\sin{x}\cos{x} - \cos{x} - 1 = 0;

2\sin{x}\cdot (1 + \cos{x}) - (1 + \cos{x}) = 0;

(1 + \cos{x})\cdot (2\sin{x} - 1) = 0;

\left[ \begin{array}{l} \cos{x} = -1,\\[2mm] \sin{x} = \dfrac{1}{2}; \end{array} \right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x = \pi + 2\pi k,\\[2mm] x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\\[2.5mm] x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{17\pi}{2};\dfrac{19\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.