Найдите все значения p, при каждом из которых уравнение
(x2−4∣x∣−p)2+6(x2−4∣x∣−p)+10=cos(p14π) имеет ровно два различных корня.
Решение
Выделим в левой части уравнения полный квадрат:
((x2−4∣x∣−p)2+6(x2−4∣x∣−p)+9)+1=cos(p14π); (x2−4∣x∣−p+3)2+1=cos(p14π). Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то левая часть уравнения при любых x не меньше 1 (≥1). В правой части
косинус, который изменяется от −1 до 1. Значит, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно
равны 1. Получим:
⎩⎨⎧(x2−4∣x∣−p+3)2+1=1,cos(p14π)=1;⎩⎨⎧x2−4∣x∣−p+3=0,(1)cos(p14π)=1.(2) (1) x2−4∣x∣−p+3=0 должно иметь ровно два корня. Решим графически в системе Oxp. p=x2−4∣x∣+3. При x≥0p=x2−4x+3 -- график парабола с вершиной xв=24=2, \ pв=−1. При x<0p=x2+4x+3 — график парабола с вершиной xв=2−4=−2,pв=−1. При x=0:p=0−4⋅0+3=3. Запустим горизонтальную считывающую прямую и найдём, при каких p она пересекает график ровно два раза.
Значит, p∈{−1}∪(3;+∞). (2) cos(p14π)=1,p14π=2πn,n∈Z. Заметим, что при n=0 решений нет, тогда
p=2πn14π=n7,n∈Z.
