Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 22.04.2026

Найдите все значения

p

, при каждом из которых уравнение

\left(x^2 - 4|x| - p\right)^2 + 6\left(x^2 - 4|x| - p\right) + 10 = \cos\left(\frac{14\pi}{p}\right)

имеет ровно два различных корня.

Решение

Выделим в левой части уравнения полный квадрат:

\left( (x^2 - 4|x| - p)^2 + 6(x^2 - 4|x| - p) + 9 \right) + 1 = \cos\left(\frac{14\pi}{p}\right);

\left( x^2 - 4|x| - p + 3 \right)^2 + 1 = \cos\left(\frac{14\pi}{p}\right).

Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то левая часть уравнения при любых

x

не меньше 1 (

\ge 1

). В правой части
косинус, который изменяется от

-1

до

1

. Значит, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно
равны 1. Получим:

\begin{cases}(x^2 - 4|x| - p + 3)^2 + 1 = 1, \\\cos\left(\dfrac{14\pi}{p}\right) = 1;\end{cases}\quad\begin{cases}x^2 - 4|x| - p + 3 = 0, \quad (1) \\\cos\left(\dfrac{14\pi}{p}\right) = 1.\quad (2)\end{cases}

(1)

x^2 - 4|x| - p + 3 = 0

должно иметь ровно два корня. Решим графически в системе

Oxp

p = x^2 - 4|x| + 3.

При

x \ge 0

p = x^2 - 4x + 3

— график парабола с вершиной

x_{\text{в}} = \dfrac{4}{2} = 2,

p_{\text{в}} = -1.

При

x < 0

p = x^2 + 4x + 3

— график парабола с вершиной

x_{\text{в}} = \dfrac{-4}{2} = -2

p_{\text{в}} = -1.

При

x = 0

p = 0 - 4 \cdot 0 + 3 = 3.

Запустим горизонтальную считывающую прямую и найдём, при каких

p

она пересекает график ровно два раза.

$Изображение 1$

Значит,

p \in \{-1\} \cup (3; +\infty)

.
(2)

\cos \left(\dfrac{14\pi}{p}\right) = 1, \qquad \dfrac{14\pi}{p} = 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}.

Заметим, что при

n=0

решений нет, тогда

p = \dfrac{14\pi}{2\pi n} = \dfrac{7}{n}, \ n \in \mathbb{Z}.

Найдём пересечение решений

(1)-(2)

1) \begin{cases} p = -1, \\ p = \dfrac{7}{n}, \ n \in \mathbb{Z}; \end{cases} \quad \dfrac{7}{n} = -1, \ n = -7, \ p = -1 \text{ подходит.}

2) \begin{cases} p > 3, \\ p = \dfrac{7}{n}, \ n \in \mathbb{Z}; \end{cases} \quad \dfrac{7}{n} > 3; \quad \dfrac{7-3n}{n} > 0;

\frac{n-\dfrac{7}{3}}{n} < 0;

$Изображение 2$

n \in \left(0; \frac{7}{3}\right), \ n \in \mathbb{Z}, \text{тогда} \ n = 1, \ n = 2.

n = 1, \ p = 7;

n = 2, \ p = \frac{7}{2} = 3,5.

Ответ:

p\in\{-1;\ 3,5; \ 7\}.

Похожие задачи