Постройте график функции y=x2+14x−3∣x+8∣+48. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+8=0⇒x=−8.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<−8. Получаем y=x2+17x+72.
Случай 2: x⩾−8. Получаем y=x2+11x+24.
Таким образом: y={x2+17x+72,x2+11x+24,x<−8,x⩾−8. Вершина левой ветви: (−8,5;−0,25), вершина правой ветви: (−5,5;−6,25). Таблица значений для левой ветви:
x:−10,−9,−8 y:2,0,0
Таблица значений для правой ветви:
x:−8,−7,−6,−5 y:0,−4,−6,−6
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{−0,25}∪{0}.
