Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x^{2} + 14 x - 3 \left|{x + 8}\right| + 48.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+8=0 \Rightarrow x=-8

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<-8

, тогда

|x+8|=-(x+8)

.
Получаем

y=x^{2} + 17 x + 72

.

Случай

2

x\geqslant -8

, тогда

|x+8|=x+8

.
Получаем

y=x^{2} + 11 x + 24

.

Таким образом:

y=\begin{cases}x^{2} + 17 x + 72, & x<-8,\\x^{2} + 11 x + 24, & x\geqslant -8.\end{cases}

В граничной точке

x=-8

проверим значения обеих формул:

y_1(-8)=(-8)^{2} + 17\cdot (-8) + 72=0,\qquad y_2(-8)=(-8)^{2} + 11\cdot (-8) + 24=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(-8; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=x^{2} + 17 x + 72

имеем

a=1

b=17

c=72

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{17}{2\cdot(1)}=-8{,}5.

y_0=1\cdot(-8{,}5)^2+17\cdot(-8{,}5)+72=-0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-8{,}5; -0{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} + 11 x + 24

имеем

a=1

b=11

c=24

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{11}{2\cdot(1)}=-5{,}5.

y_0=1\cdot(-5{,}5)^2+11\cdot(-5{,}5)+24=-6{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-5{,}5; -6{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{-0{,}25\} \cup\{0\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи