Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {log3(16−y2)=log3(16−a2x2),x2+y2=8x+4y имеет ровно два различных решения.
Решение
С помощью монотонности логарифма перейдём к равносильной системе:
⎩⎨⎧16−y2=16−a2x2,16−y2>0,x2+y2=8x+4y. Преобразуем последнее уравнение системы, выделяя полные квадраты:
x2+y2=8x+4y⇒x2−8x+y2−4y=0⇒(x−4)2+(y−2)2=20. Таким образом, исходная система равносильна следующей:
⎩⎨⎧y2=a2x2,y2<16,(x−4)2+(y−2)2=20. Проанализируем каждое выражение системы:
1)
y2=a2x2⇒(y−ax)(y+ax)=0. Уравнения y=ax и y=−ax задают пучок прямых (кроме прямой x=0), проходящих через точку (0;0). 2)
y2<16⇒(y−4)(y+4)<0. Данное неравенство задаёт область между прямыми y=−4 и y=4. 3) Уравнение (x−4)2+(y−2)2=20 задаёт окружность с центром в точке (4;2) и радиусом 20=25.
Задача сводится к нахождению значений a, при которых объединение двух прямых пересекает окружность ровно в двух точках, лежащих внутри полосы −4<y<4. Окружность проходит через точку (0;0), так как
(0−4)2+(0−2)2=16+4=20, значит, прямые всегда пересекают окружность в точке (0;0).
Заметим, что система симметрична относительно a (то есть она имеет одинаковые решения при a и −a), поэтому нам достаточно рассмотреть случай a⩾0.
В осях Oxy получаем:
Найдем точки пересечения окружности с границами полосы y=4. Подставим y=4 в уравнение окружности:
(x−4)2+(4−2)2=20⇒(x−4)2+4=20⇒(x−4)2=16⇒[x=0,x=8. (I) Найдём значение параметра a, при котором прямая y=−ax имеет одну точку пересечения с окружностью, то есть касается её:
(x−4)2+(−ax−2)2=20; x2−8x+16+a2x2+4ax+4=20; (a2+1)x2+(4a−8)x=0. Данное уравнение имеет одно решение при
4a−8=0⇒a=2.
(II) Найдём значение параметра a, при котором прямая y=ax проходит через точку (8;4): 4=a⋅8⇒a=21.
(III) При a=0 прямые y=ax и y=−ax совпадают.
Таким образом,
1) при a∈(−∞;−2)∪(2;+∞) система имеет 2 различных решения;
2) при a=±2 система имеет 1 решение;
3) при a∈(−2;−21]∪[21;2] система имеет два решения;
4) при a∈(−21;0)∪(0;21) система имеет три решения;
5) при a=0 система имеет 1 решение.
