Основание пирамиды SABC --- прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что SF:FB=AE:EC=1:5.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точки E и F перпендикулярно прямой AC, является прямоугольником.
б) Точки H и M --- точки пересечения плоскости α с прямыми AB и CS соответственно. Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 216.
Решение
а) Пусть H --- такая точка на прямой AB, что FH∥SA.
Тогда в △BSA по теореме Фалеса получаем AH:HB=SF:FB=1:5.
С другой стороны, по условию AE:EC=1:5. Значит, AH:HB=AE:EC.
Тогда в △ABC по обратной теореме Фалеса имеем
HE∥BC. Так как BC⊥AC, то HE⊥AC.
Так как SA --- высота пирамиды, то SA⊥(ABC). Кроме того, FH∥SA.
Значит, FH⊥(ABC), а, значит, FH⊥AC.
Итак, прямые FH и HE пересекаются и обе перпендикулярны прямой AC. Следовательно,
(FHE)⊥AC. Плоскость (FHE) проходит через точки E и F и перпендикулярна прямой AC, значит, это и есть искомая плоскость α.
Обозначим через M точку пересечения плоскости α с прямой SC. Тогда сечением является четырёхугольник EHFM. Так как FH∥SA, то плоскость α=(FHE) параллельна прямой SA. Поэтому в плоскости SAC прямая ME=α∩(SAC)параллельна SA, то есть ME∥SA.
Следовательно,
FH∥ME. Теперь найдём длины этих отрезков.
В △BSA, так как FH∥SA, получаем подобие △BFH∼△BSA.
Отсюда
SAFH=BSBF=65, так как
SF:FB=1:5⇒BS=6частей,BF=5частей. Значит,
FH=65SA. Аналогично, в △CSA, так как ME∥SA, имеем △CEM∼△CSA.
Тогда
SAME=CACE=65, так как
AE:EC=1:5⇒AC=6частей,CE=5частей. Следовательно,
ME=65SA.
Итак, FH=ME и FH∥ME.
Значит, четырёхугольник FHME является параллелограммом.
Но FH⊥HE, значит, FHME --- прямоугольник. Что и требовалось доказать.
б) Найдём объём многогранника BCMEHF.
Обозначим SA=h.
Через точку F проведём прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает ребро SA в точке Q.
Тогда в △SBA имеем QF∥AB, значит, по подобию
SASQ=SBSF=61. Следовательно,
SQ=61h,AQ=65h.
Далее, так как из пункта а) сечение EHFM --- прямоугольник, то EM∥FH∥SA.
Тогда в △SCA, поскольку EM∥SA, получаем подобие △CME∼△CSA.
Значит,
CSCM=CACE=65, откуда
CM=65CS⇒SM=61CS. Итак,
SASQ=SBSF=SCSM=61. Следовательно, пирамида SQMF подобна пирамиде SABC с коэффициентом k=61.
Тогда
VSABCVSQMF=k3=(61)3=2161. Так как VSABC=216, то VSQMF=1.
Теперь найдём объём призмы AEHQMF.
Так как EH∥BC, то △AEH∼△ACB, причём
ACAE=61=k. Значит,
S△ACBS△AEH=k2=(61)2=361. Высота призмы равна AQ=65h.
А объём равен
VAEHQMF=S△AEH⋅AQ. Тогда
VSABCVAEHQMF=S△ACB⋅31hS△AEH⋅65h=361⋅65⋅3=21615.
Следовательно, VAEHQMF=15.
Тогда
VBCMEHF=VSABC−VAEHQMF−VSQMF=216−15−1=200.
