Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 67?
б) Может ли это отношение быть равным 83?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 6?
Решение
Пусть искомое число имеет вид abc=100a+10b+c, где a∈{1;2;…;9} и b,c∈{0;1;…;9}. а)
a+b+c100a+10b+c=67,100a+10b+c=67a+67b+67c,33a=57b+66c. Данное равенство возможно при a=2,b=0 и c=1. б)
a+b+c100a+10b+c=83,100a+10b+c=83a+83b+83c,17a=73b+82c. Заметим, что 17a⩽17⋅9=153. При b=c=0 равенство неверно.
При b=1,c=0 получим, что 17a=73,a=1773∈N. При b=0,c=1 получим, что 17a=82,a=1782∈N. При остальных значениях b и c правая часть не меньше 73+82=155, получаем противоречие.
в) При a=6 имеем:
6+b+c600+10b+c=6+b+c594+9b+1⩾15+b594+9b+1=15+b459+10⩾24459+10=29,125. Попробуем получить 30:
6+b+c600+10b+c=30,600+10b+c=180+30b+30c,420=20b+29c,420−20b=29c. Левая часть кратна 10, а правая будет кратна 10, если c=0. Но тогда b=21, что не подходит.
Попробуем получить 31:
6+b+c600+10b+c=31,600+10b+c=186+31b+31c,414=21b+30c,138−10c=7b. Левая часть чётна, а правая будет чётна, если b -- чётное. Рассмотрим варианты:
При b=0:c=10138∈N.
При b=2:c=10124∈N.
При b=4:c=11, не подходит, c -- цифра.
При b=6:c=1096∈N.
При b=8:c=1082∈N.
Попробуем получить 32:
6+b+c600+10b+c=32,600+10b+c=192+32b+32c,408=22b+31c,408−22b=31c. Левая часть чётна, а правая будет чётна, если c -- чётное. \par \medskip Рассмотрим варианты:
При c=0:b=22408∈N.
При c=2:c=22346∈N.
При c=4:c=22284∈N.
При c=6:c=22222∈N.
При c=8:c=22160∈N.
Попробуем получить 33:
6+b+c600+10b+c=33,600+10b+c=198+33b+33c,402=23b+32c,402−32c=23b. Левая часть чётна, а правая будет чётна, если b -- чётное. Рассмотрим варианты:
При b=0:c=32402∈N.
При b=2:c=32356∈N.
При b=4:c=32310∈N.
При b=6:c=32264∈N.
При b=8:c=32218∈N.
Попробуем получить 34:
6+b+c600+10b+c=34,600+10b+c=204+34b+34c,396=24b+33c,132−11c=8b. Левая часть кратна 11, а правая будет кратна 11, если b=0. Но тогда c=12, что не подходит.
Попробуем получить 35:
6+b+c600+10b+c=35,600+10b+c=210+35b+35c,390=25b+34c,390−25b=34c. Левая часть кратна 5, а правая будет кратна 5, если c=0 или c=5.
При c=0:b=25390∈N.
При c=5:b=25220∈N. Результат 36 достигается при b=4,c=8: 18648=36. Ответ: а) да, б) нет, в) 36.
