Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселЕГКР 05.04.2024

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 67?
б) Может ли это отношение быть равным 83?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 6?

Решение

Пусть искомое число имеет вид

\overline{abc} = 100a + 10b + c

, где

a\in \{1; 2; \ldots; 9\}

b, c \in \{0; 1; \ldots; 9\}

.
а)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 67, \quad 100a + 10b + c = 67a + 67b + 67c, \quad 33a = 57b + 66c.

Данное равенство возможно при

a = 2

b = 0

c = 1

.
б)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 83, \quad 100a + 10b + c = 83a + 83b + 83c, \quad 17a = 73b + 82c.

Заметим, что

17a\leqslant 17\cdot 9 = 153

.
При

b = c = 0

равенство неверно.
При

b = 1

c = 0

получим, что

17a = 73

a = \dfrac{73}{17} \not \in \mathbb{N}

.
При

b = 0

c = 1

получим, что

17a = 82

a = \dfrac{82}{17} \not \in \mathbb{N}

.
При остальных значениях

b

c

правая часть не меньше

73 + 82 = 155

, получаем противоречие.
в) При

a = 6

имеем:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = \dfrac{594 + 9b}{6 + b + c} + 1 \geqslant \dfrac{594 + 9b}{15 + b} + 1 = \dfrac{459}{15 + b} + 10 \geqslant \dfrac{459}{24} + 10 = 29,125.

Попробуем получить 30:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 30, \quad 600 + 10b + c = 180 + 30b + 30c, \quad 420 = 20b + 29c, \quad 420 - 20b = 29c.

Левая часть кратна 10, а правая будет кратна 10, если

c = 0

. Но тогда

b = 21

, что не подходит.
Попробуем получить 31:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 31, \quad 600 + 10b + c = 186 + 31b + 31c, \quad 414 = 21b + 30c, \quad 138 - 10c = 7b.

Левая часть чётна, а правая будет чётна, если

b

-- чётное. Рассмотрим варианты:

При

b = 0

c = \dfrac{138}{10} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 2

c = \dfrac{124}{10} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 4

c = 11

, не подходит,

c

-- цифра.

При

b = 6

c = \dfrac{96}{10} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 8

c = \dfrac{82}{10} \not \in \mathbb{N}

.

Попробуем получить 32:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 32, \quad 600 + 10b + c = 192 + 32b + 32c, \quad 408 = 22b + 31c, \quad 408 - 22b = 31c.

Левая часть чётна, а правая будет чётна, если

c

-- чётное. \par \medskip Рассмотрим варианты:

При

c = 0

b = \dfrac{408}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 2

c = \dfrac{346}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 4

c = \dfrac{284}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 6

c = \dfrac{222}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 8

c = \dfrac{160}{22} \not \in \mathbb{N}

.

Попробуем получить 33:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 33, \quad 600 + 10b + c = 198 + 33b + 33c, \quad 402 = 23b + 32c, \quad 402 - 32c = 23b.

Левая часть чётна, а правая будет чётна, если

b

-- чётное. Рассмотрим варианты:

При

b = 0

c = \dfrac{402}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 2

c = \dfrac{356}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 4

c = \dfrac{310}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 6

c = \dfrac{264}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 8

c = \dfrac{218}{32} \not \in \mathbb{N}

.

Попробуем получить 34:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 34, \quad 600 + 10b + c = 204 + 34b + 34c, \quad 396 = 24b + 33c, \quad 132 - 11c = 8b.

Левая часть кратна 11, а правая будет кратна 11, если

b = 0

. Но тогда

c = 12

, что не подходит.
Попробуем получить 35:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 35, \quad 600 + 10b + c = 210 + 35b + 35c, \quad 390 = 25b + 34c, \quad 390 - 25b = 34c.

Левая часть кратна 5, а правая будет кратна 5, если

c = 0

или

c = 5

.

При

c = 0

b = \dfrac{390}{25} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 5

b = \dfrac{220}{25} \not \in \mathbb{N}

.
Результат 36 достигается при

b = 4

c = 8

\dfrac{648}{18} = 36.

Ответ: а) да, б) нет, в) 36.

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи