Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.
Ответ:
Решение
Идея. Точка пересечения диагоналей параллелограмма — центр симметрии; то же самое можно записать как равенство двух треугольников около точки O.
1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BO=DO.
2) Углы при точке O в треугольниках △BOP и △DOQ вертикальные, значит равны.
3) Так как AB∥CD, ещё одна пара углов равна как накрест лежащие при секущей BD.
4) Следовательно, △BOP и △DOQ равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда BP=DQ.
