Найдите все значения a, при каждом из которых уравнениеa2+3∣x∣+3log3(12x2+3)=2a+2∣x−a∣имеет хотя бы один корень.
Решение
Перепишем уравнение в следующем виде:3log3(12x2+3)=2a−a2+2∣x−a∣−3∣x∣.Пусть f(x)=3log3(12x2+3),g(x)=2a−a2+2∣x−a∣−3∣x∣.
Заметим, что выражение 12x2+3≥3 и log3x -- монотонно возрастающая функция, то3log3(12x2+3)≥3log33=3приx=0.Рассмотрим функцию g(x):
Заметим, что <<поведение>> функции, а именно её возрастание/убывание, зависит от слагаемого −3∣x∣. Рассмотрим два случая: \begin{enumerate} \item x≥0:g(x)=2a−a2±2(x−a)−3x=kx+A,где k=−1или−5,A=−a2или−a2+4a. Таким образом, коэффициент перед x будет отрицательным, следовательно, функция убывает при x≥0. \item x<0:g(x)=2a−a2±2(x−a)+3x=kx+A,где k=1или5,A=−a2или−a2+4a. Таким образом, коэффициент перед x будет положительным, слежовательно, функция возрастает при x<0. \end{enumerate} В итоге получаем, что g(x) убывает при x≥0 и возрастает при x<0, то есть максимальное значение функция принимает в точке x=0. Следовательно, уравнение имеет хотя бы одно решение, еслиg(0)≥f(0);2a−a2+2∣a∣≥3.Рассмотрим два случая:
1) a<0:2a−a2−2a≥3;−a2−3≥0;a2+3≤0⇒решенийнет2) a≥0:2a−a2+2a≥3;a2−4a+3≤0;(a−1)(a−3)≤0;1≤a≤3.Таким образом, окончательный ответ
