Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 23.04.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

a^2 + 3|x| + 3\log_3(12x^2+3) = 2a + 2|x-a|

имеет хотя бы один корень.

Решение

Перепишем уравнение в следующем виде:

3\log_3(12x^2+3) = 2a - a^2+ 2|x-a| -3|x|.

Пусть

f(x)= 3\log_3(12x^2+3)

g(x) = 2a - a^2+ 2|x-a| -3|x|

.

Заметим, что выражение

12x^2+3 \geq 3

\log_3x

-- монотонно возрастающая функция, то

3\log_3(12x^2+3) \geq 3 \log_33 = 3 ~при ~ x =0.

Рассмотрим функцию

g(x)

:

Заметим, что <<поведение>> функции, а именно её возрастание/убывание, зависит от слагаемого

-3|x|

. Рассмотрим два случая:
\begin{enumerate}
\item

x \geq 0

g(x) = 2a-a^2 \pm 2(x-a)-3x = kx+A,

где

k = -1~или~ -5

A = -a^2~или~-a^2+4a

. Таким образом, коэффициент перед

x

будет отрицательным, следовательно, функция убывает при

x \geq 0

.
\item

x< 0

g(x) = 2a-a^2 \pm 2(x-a) +3x = kx+A,

где

k = 1~или~ 5

A = -a^2~или~-a^2+4a

. Таким образом, коэффициент перед

x

будет положительным, слежовательно, функция возрастает при

x < 0

.
\end{enumerate}
В итоге получаем, что

g(x)

убывает при

x \geq 0

и возрастает при

x <0

, то есть максимальное значение функция принимает в точке

x=0

. Следовательно, уравнение имеет хотя бы одно решение, если

g(0) \geq f(0);

2a-a^2+2|a| \geq 3.

Рассмотрим два случая:

1)

a<0

2a-a^2-2a \geq 3;

-a^2 -3\geq 0;

a^2+3 \leq0 \Rightarrow решений~нет

a \geq 0

2a-a^2+2a \geq 3;

a^2-4a+3 \leq 0;

(a-1)(a-3) \leq0;

1 \leq a \leq 3.

Таким образом, окончательный ответ

Ответ:

[1;3]

Похожие задачи