Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2+3∣x∣+3log3(12x2+3)=2a+2∣x−a∣ имеет хотя бы один корень.
Решение
Перепишем уравнение в следующем виде:
3log3(12x2+3)=2a−a2+2∣x−a∣−3∣x∣. Пусть f(x)=3log3(12x2+3),g(x)=2a−a2+2∣x−a∣−3∣x∣.
Заметим, что выражение 12x2+3≥3 и log3x -- монотонно возрастающая функция, то
3log3(12x2+3)≥3log33=3приx=0. Рассмотрим функцию g(x):
Заметим, что <<поведение>> функции, а именно её возрастание/убывание, зависит от слагаемого −3∣x∣. Рассмотрим два случая:
\begin{enumerate}
\item x≥0: g(x)=2a−a2±2(x−a)−3x=kx+A, где k=−1или−5,A=−a2или−a2+4a. Таким образом, коэффициент перед x будет отрицательным, следовательно, функция убывает при x≥0. \item x<0: g(x)=2a−a2±2(x−a)+3x=kx+A, где k=1или5,A=−a2или−a2+4a. Таким образом, коэффициент перед x будет положительным, слежовательно, функция возрастает при x<0. \end{enumerate}
В итоге получаем, что g(x) убывает при x≥0 и возрастает при x<0, то есть максимальное значение функция принимает в точке x=0. Следовательно, уравнение имеет хотя бы одно решение, если
g(0)≥f(0); 2a−a2+2∣a∣≥3. Рассмотрим два случая:
