Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
∣x2−a2∣=∣x+a∣x2−ax+4a имеет ровно два различных корня.
Решение
∣x−a∣⋅∣x+a∣=∣x+a∣x2−ax+4a; ∣x+a∣⋅(∣x−a∣−x2−ax+4a)=0; {x+a=0,x2−ax+4a≥0,∣x−a∣−x2−ax+4a=0;{x=−a,x2−ax+4a≥0,∣x−a∣−x2−ax+4a=0. Решим уравнение полученной совокупности:
∣x−a∣−x2−ax+4a=0,(x−a)2=x2−ax+4a,x2−2ax+a2=x2−ax+4a;ax=a2−4a. Если a=0, то 0=0 -- бесконечное количество решений, не удовлетворяет условию.
Если a=0, то x=a−4 -- единственное решение.
Проверим, при каких a корень x=−a удовлетворяет неравенству системы:
a2+a2+4a≥0,2a2+4a≥0,a(a+2)≥0;
a∈(−∞;−2]∪[0;+∞). Проверим совпадение корней x=−a и x=a−4: a−4=−a,2a=4,a=2. Значит, при a=2 уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию.
Пересекая найденные множества, получаем, что a∈(−∞;−2]∪(0;2)∪(2;+∞). Ответ: a∈(−∞;−2]∪(0;2)∪(2;+∞).
