Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2021 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{x^2-ax+4a}

имеет ровно два различных корня.

Решение

|x-a|\cdot|x+a|=|x+a|\sqrt{x^2-ax+4a};

|x+a|\cdot(|x-a|-\sqrt{x^2-ax+4a})=0;

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x+a=0, \\ x^2-ax+4a\ge0, \end{cases} \\ |x-a|-\sqrt{x^2-ax+4a}=0; \end{gathered}\right. \quad \left[\begin{gathered} \begin{cases} x=-a, \\ x^2-ax+4a \ge0, \end{cases} \\ |x-a|-\sqrt{x^2-ax+4a}=0. \end{gathered}\right.

Решим уравнение полученной совокупности:

|x-a|-\sqrt{x^2-ax+4a}=0, \quad (x-a)^2=x^2-ax+4a, \quad x^2-2ax+a^2=x^2-ax+4a;\\ax=a^2-4a.

Если

a=0

, то

0=0

-- бесконечное количество решений, не удовлетворяет условию.
Если

a \neq0

, то

x=a-4

-- единственное решение.
Проверим, при каких

a

корень

x=-a

удовлетворяет неравенству системы:

a^2+a^2+4a\ge0, \quad 2a^2+4a \ge0, \quad a(a+2)\ge0;

$Изображение 1$

a\in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty).

Проверим совпадение корней

x=-a

x=a-4

a-4=-a, \quad 2a=4, \quad a=2.

Значит, при

a=2

уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию.
Пересекая найденные множества, получаем, что

a\in(-\infty;-2] \cup (0;2) \cup (2; +\infty)

.
Ответ:

a\in(-\infty;-2] \cup (0;2) \cup (2; +\infty)

Похожие задачи