Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026ЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-9a+15=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

x + \dfrac{1}{x} = t,

тогда уравнение примет вид:

at^2 + 5t - 9a + 15 = 0.

При

a=0: \quad 0 + 5t - 0 + 15 = 0;

t = -3;\\[0.5em]x + \frac{1}{x} = -3; \quad | \cdot x \neq 0\\[0.5em]x^2 + 3x + 1 = 0;\\[0.5em]D = 9 - 4 = 5, \\[0.5em] x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \text{ --- два различных корня.} \Rightarrow a=0.

При

a \neq 0

уравнение квадратное, найдём дискриминант

D = 5^2 - 4a(-9a+15) = 25 + 36a^2 - 60a = (6a-5)^2;\\[0.5em]t_1 = \frac{-5-(6a-5)}{2a} = -3 ; \quad t_2 = \frac{-5+6a-5}{2a} = \frac{3a-5}{a}.

t = -3,

\quad

x + \dfrac{1}{x} = -3

-- это уравнение имеет 2 корня.
2)

t = \dfrac{3a-5}{a}, \quad x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3a-5}{a}

.
Для того, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходима одна из следующих ситуаций:
a) уравнение

x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3a-5}{a}

не имеет корней.

x^2 + 1 = \dfrac{3a-5}{a}x \quad | \cdot \quad a \neq 0\\[0.5em]ax^2 - (3a-5)x + a = 0;\\[0.5em]D = (3a-5)^2 - 4a \cdot a = 9a^2 - 30a + 25 - 4a^2 = 5a^2 - 30a + 25.

Уравнение не будет иметь корней при

D < 0.

5a^2 - 30a + 25 < 0;\\[0.5em]a^2 - 6a + 5 = 0;\\[0.5em]a=1, \quad \ a=5;\\[0.5em](a-1)(a-5) < 0;

a \in (1; 5).

б) уравнение

x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3a-5}{a}

совпадает с уравнением

x + \dfrac{1}{x} = -3,

то есть

\dfrac{3a-5}{a} = -3;\\[0.5em]\quad 3a - 5 = -3a; \quad a = \dfrac{5}{6}.

Объединив все найденные значения параметра, получим

a \in \left\{ 0; \dfrac{5}{6} \right\} \cup (1; 5)

.

Ответ:

\left\{ 0; \dfrac{5}{6} \right\} \cup (1; 5).

Похожие задачи