Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a(x+x1)2+5(x+x1)−9a+15=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть x+x1=t, тогда уравнение примет вид:
at2+5t−9a+15=0. При a=0:0+5t−0+15=0; t=−3;x+x1=−3;∣⋅x=0x2+3x+1=0;D=9−4=5,x1,2=2−3±5 — дваразличныхкорня.⇒a=0. При a=0 уравнение квадратное, найдём дискриминант
D=52−4a(−9a+15)=25+36a2−60a=(6a−5)2;t1=2a−5−(6a−5)=−3;t2=2a−5+6a−5=a3a−5. 1) t=−3, \quadx+x1=−3 -- это уравнение имеет 2 корня.
2) t=a3a−5,x+x1=a3a−5. Для того, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходима одна из следующих ситуаций:
a) уравнение x+x1=a3a−5 не имеет корней.
x2+1=a3a−5x∣⋅a=0ax2−(3a−5)x+a=0;D=(3a−5)2−4a⋅a=9a2−30a+25−4a2=5a2−30a+25. Уравнение не будет иметь корней при D<0. 5a2−30a+25<0;a2−6a+5=0;a=1,a=5;(a−1)(a−5)<0;
a∈(1;5). б) уравнение x+x1=a3a−5 совпадает с уравнением
x+x1=−3, то есть
a3a−5=−3;3a−5=−3a;a=65. Объединив все найденные значения параметра, получим a∈{0;65}∪(1;5).
