в) Найдите наименьшее значение произведения A⋅S, если известно, что
оно больше 3978.
Решение
а)
Пусть искомое число
A=abc=100a+10b+c, а сумма его цифр равна
S=a+b+c. Нужно проверить, существует ли такое число A, что
A⋅S=1105. Начнём раскладывать 1105 на простые множители:
1105=5⋅221. Попробуем взять A=221, тогда
S=2+2+1=5. Проверим:
A⋅S=221⋅5=1105. Следовательно, такое число существует.
б)
Проверим, можно ли найти такое число A, чтобы
A⋅S=1106. Разложим число 1106 на простые множители:
1106=2⋅553=2⋅7⋅79. Так как A --- число, а S --- сумма его цифр, то возможные разложения числа 1106 на произведение A⋅S нужно искать среди пар множителей:
1106=553⋅2,1106=158⋅7,1106=79⋅14. Проверим эти варианты.
A=553:S=5+5+3=13=2.A=158:S=1+5+8=14=7.A=79:S=7+9=16=14. Ни один вариант не подходит. Следовательно, такого числа A не существует.
в)
Так как число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9, составим таблицу возможных остатков:
ASAS000111224330447557660774881
То есть возможные остатки произведения AS при делении на 9: 0,1,4,7.
Теперь проверим какие остатки при делении на 9 дают числа, большие 3978: 3979даётостаток1,можетподойти;3980даётостаток2,неподходит;3981даётостаток3,неподходит;3982даётостаток4,можетподойти.
3979:
3979=23⋅173. Но
2+3=5=173,1+7+3=11=23. Значит, число 3979 не подходит.
3982:
3982=362⋅11.
При этом
3+6+2=11. Значит, число 3982 подходит:
A⋅S=362⋅11=3982.
