Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваЕГКР 07.04.2026

Решите неравенство

\frac{\log_2 27}{\log_2 \dfrac{x}{81}\rule{0pt}{3ex}} \leqslant \left(1-\frac{1}{4-\log_3 x}\right) \cdot \frac{\log_5 9}{\log_5 \dfrac{x}{27}\rule{0pt}{3ex}}.

Решение

Применяя формулу перехода к новому основанию, получаем:

\log_{\tfrac{x}{81}}27 \le \left (1-\dfrac{1}{4-\log_3x}\right)\cdot \log_{\tfrac{x}{27}}9.

Используя формулу

\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}

, а также

\log_{a^k}b=\dfrac{1}{k}\log_ab

\log _a \dfrac{b}{c}=\log_ab-\log_ac

, имеем:

\dfrac{1}{\log_{27}{\tfrac{x}{81}}} \le \left (1-\dfrac{1}{4-\log_3x}\right)\cdot \dfrac{1}{\log_{9}{\tfrac{x}{27}}};

\dfrac{3}{\log_{3}{\tfrac{x}{81}}} \le \left (1-\dfrac{1}{4-\log_3x}\right)\cdot \dfrac{2}{\log_{3}{\tfrac{x}{27}}};

\dfrac{3}{\log_{3}x-4} \le \left (1-\dfrac{1}{4-\log_3x}\right)\cdot \dfrac{2}{\log_{3}x-3}.

Пусть

t=\log_3x

, тогда неравенство перепишется в виде:

\dfrac{3}{t-4} \le \left (1-\dfrac{1}{4-t}\right)\cdot \dfrac{2}{t-3};

\dfrac{3}{t-4} \le \dfrac{3-t}{4-t}\cdot \dfrac{2}{t-3};

\dfrac{3}{t-4} -\dfrac{t-3}{t-4}\cdot \dfrac{2}{t-3}\le 0;

\begin{cases} t\not =3; \\ \dfrac{3}{t-4} -\dfrac{2}{t-4}\le 0; \end{cases} \\begin{cases} t\not =3; \\ \dfrac{1}{t-4}\le 0; \end{cases} \ \begin{cases} t\not =3; \\ t<4; \end{cases} \ \begin{cases} \log_3x\not =3; \\ \log_3x<4; \end{cases} \ \begin{cases} x\not =27; \\ 0< x <81.\end{cases}

Ответ:

x\in(0;27) \cup (27;81)

Похожие задачи