Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселСтатГрад 14.02.2024

Пусть

\overline{ml}

обозначает двузначное число, равное

10m+l

, где

m

l

--- цифры,

m\ne 0

.

а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры

a

b

c

d

, что

\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99

?

б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры

a

b

c

d

, что

\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=1485,

если среди цифр

a

b

c

d

есть цифра

5

?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение

\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot\overline{dc}

, если цифры

a

b

c

d

различны и среди них есть цифры

4

6

Решение

\item Заметим, что

\overline{ab}=10a+b,\qquad \overline{cd}=10c+d,\qquad \overline{ba}=10b+a,\qquad \overline{dc}=10d+c.

Тогда

\begin{align*} &\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=(10a+b)(10c+d)-(10b+a)(10d+c)= \\ &=100ac+10ad+10bc+bd-100bd-10bc-10ad-ac= \\ &=99ac-99bd=99(ac-bd). \end{align*}

Значит, нужно, чтобы

99(ac-bd)=99,

то есть

ac-bd=1.

Это возможно, например, при

a=9,\qquad b=4,\qquad c=7,\qquad d=5,

так как

ac-bd=9\cdot 4-7\cdot 5=36-35=1.

б) Из пункта а) знаем, что

\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99(ac-bd).

Поэтому, если

\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=1485,

то

99(ac-bd)=1485=99\cdot 15,

откуда

ac-bd=15.

По условию среди цифр

a

b

c

d

есть цифра

5

. Тогда одно из произведений

ac

или

bd

делится на

5

.

При этом разность

ac-bd

равна

15

, то есть делится на

5

, значит, и второе произведение тоже должно делиться на

5

.

Тогда среди цифр

a

b

c

d

должно быть как минимум две цифры

5

, что противоречит условию о различии цифр.

в) Нужно максимизировать выражение

99(ac-bd)

.
Значит, достаточно найти наибольшее возможное значение

ac-bd

.

Рассмотрим все случаи, когда среди цифр

a

b

c

d

есть цифры

4

6

.

Если цифры

4

6

--- это

a

c

, то

ac-bd\leqslant 4\cdot 6-1\cdot 2=22.

Если цифры

4

6

--- это

b

d

, то

ac-bd\leqslant 8\cdot 9-4\cdot 6=48.

Если цифра

4

--- это

a

или

c

, а цифра

6

--- это

b

или

d

, то

ac-bd\leqslant 4\cdot 9-6\cdot 1=30.

Если цифра

6

--- это

a

или

c

, а цифра

4

--- это

b

или

d

, то

ac-bd\leqslant 6\cdot 9-4\cdot 1=50.

Наибольшее значение получается в последнем случае:

ac-bd=50.

Оно достигается при

a=6,\qquad b=4,\qquad c=9,\qquad d=1,

\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99\cdot 50=4950.

Ответ: а) да; б) нет; в)

4950

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи