Пусть ml обозначает двузначное число, равное 10m+l, где m и l --- цифры, m=0.
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a,b,c и d, что ab⋅cd−ba⋅dc=99?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a,b,c и d, что ab⋅cd−ba⋅dc=1485, если среди цифр a,b,c и d есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение ab⋅cd−ba⋅dc, если цифры a,b,c и d различны и среди них есть цифры 4 и 6?
Решение
\item Заметим, что
ab=10a+b,cd=10c+d,ba=10b+a,dc=10d+c. Тогда
ab⋅cd−ba⋅dc=(10a+b)(10c+d)−(10b+a)(10d+c)==100ac+10ad+10bc+bd−100bd−10bc−10ad−ac==99ac−99bd=99(ac−bd). Значит, нужно, чтобы
99(ac−bd)=99, то есть
ac−bd=1. Это возможно, например, при
a=9,b=4,c=7,d=5, так как
ac−bd=9⋅4−7⋅5=36−35=1. б) Из пункта а) знаем, что
ab⋅cd−ba⋅dc=99(ac−bd). Поэтому, если
ab⋅cd−ba⋅dc=1485, то
99(ac−bd)=1485=99⋅15, откуда
ac−bd=15. По условию среди цифр a,b,c,d есть цифра 5. Тогда одно из произведений ac или bd делится на 5.
При этом разность ac−bd равна 15, то есть делится на 5, значит, и второе произведение тоже должно делиться на 5.
Тогда среди цифр a,b,c,d должно быть как минимум две цифры 5, что противоречит условию о различии цифр.
в) Нужно максимизировать выражение 99(ac−bd). Значит, достаточно найти наибольшее возможное значение ac−bd.
Рассмотрим все случаи, когда среди цифр a,b,c,d есть цифры 4 и 6.
Если цифры 4 и 6 --- это a и c, то
ac−bd⩽4⋅6−1⋅2=22. Если цифры 4 и 6 --- это b и d, то
ac−bd⩽8⋅9−4⋅6=48. Если цифра 4 --- это a или c, а цифра 6 --- это b или d, то
ac−bd⩽4⋅9−6⋅1=30. Если цифра 6 --- это a или c, а цифра 4 --- это b или d, то
ac−bd⩽6⋅9−4⋅1=50. Наибольшее значение получается в последнем случае:
ac−bd=50. Оно достигается при
a=6,b=4,c=9,d=1, и
ab⋅cd−ba⋅dc=99⋅50=4950. Ответ: а) да; б) нет; в) 4950.
