а) Решите уравнение… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

УравненияЕГЭ 2025 (пересдача)

а) Решите уравнение

\sqrt{2}\cos^3{x}-\sqrt{2}\cos{x}+\sin^2{x}=0

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]

Решение

а) Упростим уравнение, используя основное тригонометрическое тождество

\sin ^2x = 1 -\cos^2 x

, получим

\sqrt{2}\cos^3{x}-\sqrt{2}\cos{x}+1 -\cos^2 x=0;

\cos^2{x}(\sqrt{2}\cos x-1)-(\sqrt{2}\cos{x}-1)=0;

(\sqrt{2}\cos x-1)(\cos^2{x}-1)=0;

\left [ \begin{gathered} \sqrt{2}\cos x-1 = 0, \\[1ex] \cos^2{x}-1=0; \end{gathered}\right. \quad\left [ \begin{gathered} \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\[1ex] \cos^2x=1; \end{gathered}\right. \quad \left [ \begin{gathered} \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x = \pm 1; \end{gathered}\right. \quad \left [ \begin{gathered} x = \pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k, \\ x = \pi k, \end{gathered}\right. \quad k\in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни: