Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

УравненияЕГЭ 2025 (пересдача)
а) Решите уравнение 2cos⁡3x−2cos⁡x+sin⁡2x=0\sqrt{2}\cos^3{x}-\sqrt{2}\cos{x}+\sin^2{x}=02​cos3x−2​cosx+sin2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π2;4π]\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right][25π​;4π].

Решение

а) Упростим уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin ^2x = 1 -\cos^2 xsin2x=1−cos2x, получим2cos⁡3x−2cos⁡x+1−cos⁡2x=0;\sqrt{2}\cos^3{x}-\sqrt{2}\cos{x}+1 -\cos^2 x=0;2​cos3x−2​cosx+1−cos2x=0;cos⁡2x(2cos⁡x−1)−(2cos⁡x−1)=0;\cos^2{x}(\sqrt{2}\cos x-1)-(\sqrt{2}\cos{x}-1)=0;cos2x(2​cosx−1)−(2​cosx−1)=0;(2cos⁡x−1)(cos⁡2x−1)=0;(\sqrt{2}\cos x-1)(\cos^2{x}-1)=0;(2​cosx−1)(cos2x−1)=0;[2cos⁡x−1=0,cos⁡2x−1=0;[cos⁡x=22,cos⁡2x=1;[cos⁡x=22,cos⁡x=±1;[x=±π4+2πk,x=πk,k∈Z.\left [
\begin{gathered}
\sqrt{2}\cos x-1 = 0, \\[1ex]
\cos^2{x}-1=0;
\end{gathered}\right. \quad\left [
\begin{gathered}
\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\[1ex]
\cos^2x=1;
\end{gathered}\right. \quad
\left [
\begin{gathered}
\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\
\cos x = \pm 1;
\end{gathered}\right. \quad
\left [
\begin{gathered}
x = \pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k, \\
x = \pi k,
\end{gathered}\right. \quad k\in \mathbb{Z}.​2​cosx−1=0,cos2x−1=0;​​cosx=22​​,cos2x=1;​​cosx=22​​,cosx=±1;​​x=±4π​+2πk,x=πk,​k∈Z.б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [5π2;4π]\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right][25π​;4π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни: 3π,15π4,4π.3\pi, \dfrac{15\pi}{4}, 4\pi.3π,415π​,4π.
Изображение 1
Ответ: а) ±π4+2πk, πk, k∈Z\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ \pi k,\ k \in \mathbb{Z}±4π​+2πk, πk, k∈Z; б) 3π,15π4,4π.3\pi, \dfrac{15\pi}{4}, 4\pi.3π,415π​,4π.