Через вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна 43, дуга AB равна 90∘, а хорда AB равна 8.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAB и плоскостью основания конуса равен 60∘. б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Решение
а) Дуга AB равна 90∘, следовательно, ∠AOB=90∘ как центральный и опирающийся на дугу AB, где O -- центр основания конуса. Пусть K -- середина хорды AB, тогда в равнобедренных треугольниках AOB и ASB,OK и SK -- медианы и высоты. Получаем, что OK⊥AB и SK⊥AB, значит
OK -- медиана, проведённая из вершины прямого угла △AOB, следовательно,
OK=21AB=4. Таким образом, в прямоугольном треугольнике SOK: tg∠OKS=OKSO=443=3. Следовательно, ∠OKS=60∘. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что AB⊥SOK и AB∈SAB, значит SAB⊥SOK. Следовательно, расстояние от точки O до плоскости SAB равно расстоянию от точки O до прямой SK. Пусть OH -- высота △SOK. Следовательно, OH -- искомое расстояние.
