Найдите все значения a, при которых любое решение уравнения
356,2x−5,2+4log5(4x+1)+5a=0 принадлежит отрезку [1;6].
Решение
Пусть f(x)=35(6,2x−5,2+4log5(4x+1)+5a,g(x)=35(6,2x−5,2,h(x)=4log5(4x+1)+5a. Рассмотрим g(x)=35(6,2x−5,2. Она является монотонно возрастающей функцией как композиция монотонно возрастающих функций y=35x и y=6,2x−5,2. Рассмотрим h(x)=4log5(4x+1)+5a. Она является монотонно возрастающей функцией как сумма константы 5a и композиции монотонно возрастающих функций y=4x+1 и y=4log5x. Таким образом, получим, что f(x)=35(6,2x−5,2+4log5(4x+1)+5a является монотонно возрастающей функцией как сумма двух монотонно возрастающих функций. Значит, уравнение f(x)=0 может иметь не более одного корня. Для того, чтобы любое решение уравнения f(x)=0 принадлежало отрезку [1;6], необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система:
{f(1)≤0,f(6)≥0;{35(6,2−5,2+4log5(4+1)+5a≤0,35(6,2⋅6−5,2+4log5(4⋅6+1)+5a≥0;{7+5a≤0,14+5a≥0;{a≤−1,4,a≥−2,8;
