Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2014 (основа)

Найдите все значения

a

, при которых любое решение уравнения

3\sqrt[5]{6,2x - 5,2} + 4\log_5(4x + 1) + 5a = 0

принадлежит отрезку

[1; 6]

Решение

Пусть

f(x)=3\sqrt[5]{\mathstrut 6,2x - 5,2} + 4\log_5(4x + 1) + 5a

g(x)=3\sqrt[5]{\mathstrut 6,2x - 5,2}

h(x)=4\log_5(4x + 1) + 5a

.
Рассмотрим

g(x)=3\sqrt[5]{\mathstrut 6,2x - 5,2}

. Она является монотонно возрастающей функцией как композиция монотонно возрастающих функций

y=3\sqrt[5]{x}

y=6,2x - 5,2

.
Рассмотрим

h(x)=4\log_5(4x + 1) + 5a

. Она является монотонно возрастающей функцией как сумма константы

5a

и композиции монотонно возрастающих функций

y=4x + 1

y=4\log_5x

.
Таким образом, получим, что

f(x)=3\sqrt[5]{\mathstrut 6,2x - 5,2} + 4\log_5(4x + 1) + 5a

является монотонно возрастающей функцией как сумма двух монотонно возрастающих функций. Значит, уравнение

f(x)=0

может иметь не более одного корня. Для того, чтобы любое решение уравнения

f(x)=0

принадлежало отрезку

[1;6]

, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система:

\begin{cases} f(1)\le 0, \\ f(6) \ge0;\end{cases} \\begin{cases} 3\sqrt[5]{\mathstrut 6,2 - 5,2} + 4\log_5(4 + 1) + 5a\le 0, \\ 3\sqrt[5]{\mathstrut 6,2 \cdot 6 - 5,2} + 4\log_5(4\cdot 6 + 1) + 5a \ge0;\end{cases} \ \begin{cases} 7 + 5a\le 0, \\ 14 + 5a \ge0;\end{cases} \ \begin{cases} a\le -1,4, \\ a \ge - 2,8;\end{cases}

$Изображение 1$

Значит,

a\in [-2,8;-1,4]

.
Ответ:

a\in [-2,8;-1,4]

Похожие задачи