Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026ЕГЭ 2016 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x^4-x^2+a^2}=x^2+x-a

имеет ровно три различных решения.

Решение

Уравнение

\sqrt{f(x)} = g(x)

равносильно системе

\begin{cases}f(x) = g^2(x), \\g(x) \geqslant 0.\end{cases}

Составим систему:

\begin{cases}x^4 - x^2 + a^2 = (x^2 + x - a)^2; & (1) \\x^2 + x - a \geqslant 0. & (2)\end{cases}

(1)

x^4 - x^2 + a^2 = x^4 + x^2 + a^2 + 2x^3 - 2x^2a - 2xa

.

Для возведения трёхчлена в квадрат воспользовались формулой

(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc.

Приведём уравнение к виду

2x^3+2x^2-2x^2a-2xa=0

.

Разложим на множители, попарно сгруппировав:

2x^2(x+1) - 2xa(x+1) = 0; \\[0.5em](x+1)(2x^2 - 2xa) = 0;\\[0.5em]2x(x+1)(x-a) = 0;\\[0.5em]x_1=0, \quad x_2=-1, \quad x_3=a.

Для того, чтобы исходное уравнение имело 3 корня, необходимо, чтобы корни

x_1, x_2

x_3

не совпадали и удовлетворяли условию

x^2 + x - a \geqslant 0

.
Рассмотрим совпадение:

1) \ x_1 = x_2

0 = -1, \ \varnothing

2) \ x_1 = x_3

a=0.

3) \ x_2 = x_3

a = -1.

Значит,

a \neq 0, a \neq -1.

Найдём, при каких

a

x_1, x_2

x_3

удовлетворяют условию (2):

\left\{\begin{aligned}& 0^2 + 0 - a \geqslant 0, \\& (-1)^2 + (-1) - a \geqslant 0, \\& a^2 + a - a \geqslant 0;\end{aligned}\right.\qquad\left\{\begin{aligned}& a \leqslant 0, \\& a \leqslant 0, \\& a^2 \geqslant 0;\end{aligned}\right.\qquad a \leqslant 0.

Учитывая всё найденное выше, получим:

\begin{cases}a \neq 0, \\a \neq -1, \\a \leqslant 0;\end{cases}\quada \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0).

Ответ:

(-\infty; -1) \cup (-1; 0).

Похожие задачи