Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x4−x2+a2=x2+x−a имеет ровно три различных решения.
Решение
Уравнение f(x)=g(x) равносильно системе
{f(x)=g2(x),g(x)⩾0. Составим систему:
{x4−x2+a2=(x2+x−a)2;x2+x−a⩾0.(1)(2) (1) x4−x2+a2=x4+x2+a2+2x3−2x2a−2xa.
Для возведения трёхчлена в квадрат воспользовались формулой
(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2ac−2bc. Приведём уравнение к виду 2x3+2x2−2x2a−2xa=0.
Разложим на множители, попарно сгруппировав:
2x2(x+1)−2xa(x+1)=0;(x+1)(2x2−2xa)=0;2x(x+1)(x−a)=0;x1=0,x2=−1,x3=a. Для того, чтобы исходное уравнение имело 3 корня, необходимо, чтобы корни x1,x2 и x3 не совпадали и удовлетворяли условию x2+x−a⩾0. Рассмотрим совпадение:
1)x1=x2: 0=−1,∅ 2)x1=x3: a=0. 3)x2=x3: a=−1. Значит, a=0,a=−1.
Найдём, при каких ax1,x2 и x3 удовлетворяют условию (2):
⎩⎨⎧02+0−a⩾0,(−1)2+(−1)−a⩾0,a2+a−a⩾0;⎩⎨⎧a⩽0,a⩽0,a2⩾0;a⩽0. Учитывая всё найденное выше, получим: ⎩⎨⎧a=0,a=−1,a⩽0;a∈(−∞;−1)∪(−1;0).
