На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы - цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Решение
Пусть S1 — сумма чисел в первой группе, S2 — во второй, S3 — в третьей, n1,n2,n3 — их количества соответственно.
После приписывания цифр:
1) Числа первой группы превращаются в 10a+3, их новая сумма 10S1+3n1. 2) Числа второй группы превращаются в 10b+7, их новая сумма 10S2+7n2. 3) Третья группа не меняется: сумма S3.
Общая новая сумма: 10S1+3n1+10S2+7n2+S3. Исходная сумма: S1+S2+S3.
а) Пусть увеличение в 8 раз:
10S1+3n1+10S2+7n2+S3=8(S1+S2+S3). Преобразуем:
10S1+3n1+10S2+7n2+S3−8S1−8S2−8S3=0, 2S1+3n1+2S2+7n2−7S3=0, 2S1+2S2+3n1+7n2=7S3. Подберём пример. Возьмём n1=1,n2=1,n3=1. Пусть в первой группе число 9, во второй 70, в третьей 24. Тогда:
S1=9,S2=70,S3=24,n1=1,n2=1. Проверяем: 2⋅9+2⋅70+3⋅1+7⋅1=18+140+3+7=168,7S3=7⋅24=168. Равенство выполнено. Исходная сумма 9+70+24=103, новая сумма 93+707+24=824,824/103=8.
б) Пусть увеличение в 17 раз:
10S1+3n1+10S2+7n2+S3=17(S1+S2+S3), 10S1+3n1+10S2+7n2+S3−17S1−17S2−17S3=0, −7S1−7S2+3n1+7n2−16S3=0, 3n1+7n2=7S1+7S2+16S3. Заметим, что n1⩽S1 и n2⩽S2, так как числа натуральные и различные (минимальная сумма n чисел не меньше n). Тогда левая часть ⩽3S1+7S2. Правая часть =7S1+7S2+16S3⩾7S1+7S2. Чтобы равенство выполнялось, нужно 3S1+7S2⩾7S1+7S2+16S3, что невозможно при положительных S3.
в) Найдём отношение:
k=S1+S2+S310S1+3n1+10S2+7n2+S3=10+S1+S2+S33n1+7n2−9S3. Знаменатель S1+S2+S3 не зависит от распределения по группам. Чтобы максимизировать k, нужно сделать числитель 3n1+7n2−9S3 как можно больше, а знаменатель как можно меньше. Для этого:
1) n2 берём максимальным (коэффициент 7);
2) в третьей группе оставляем ровно одно число, причём наименьшее возможное, чтобы S3 было минимальным;
3) все числа берём наименьшими, чтобы знаменатель был минимальным.
Возьмём n3=1,S3=1 (число 1). Тогда 3n1+7n2−9S3=3n1+7n2−9. Пусть n2=x,n1=1 (чтобы не уменьшать n2), тогда числитель 3+7x−9=7x−6. Общее количество чисел x+2. Чтобы знаменатель был минимальным, возьмём первые x+2 натуральных числа: 1,2,…,x+2. Тогда S1+S2+S3=1+2+⋯+(x+2)=2(x+2)(x+3). При этом S3=1, а остальные числа распределены по первой и второй группам, но их сумма не меняет знаменатель.
Тогда
k=10+2(x+2)(x+3)7x−6=10+(x+2)(x+3)2(7x−6). Исследуем функцию f(x)=(x+2)(x+3)2(7x−6) для натуральных x⩾1. Вычислим значения:
x=1:f(1)=3⋅42(7−6)=122=61,k=1061. x=2:f(2)=4⋅52(14−6)=2016=0.8,k=1054. x=3:f(3)=5⋅62(21−6)=3030=1,k=11. x=4:f(4)=6⋅72(28−6)=4244=2122,k=11211. x=5:f(5)=7⋅82(35−6)=5658=2829,k=11281. Максимум достигается при x=4,k=11211.
Построим пример. Возьмём x=4, значит n2=4,n1=1,n3=1. Всего чисел 6. Берём наименьшие: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Распределим:
1) третья группа: число 1 (S3=1);
2) первая группа: число 2 (S1=2);
3) вторая группа: числа 3, 4, 5, 6 (S2=3+4+5+6=18).
Исходная сумма: 2+18+1=21. Новая сумма:
1) первая группа: 10⋅2+3=23; 2) вторая группа: 10⋅3+7=37,10⋅4+7=47,10⋅5+7=57,10⋅6+7=67, сумма 37+47+57+67=208; 3) третья группа: 1.
Итого 23+208+1=232. Отношение 232/21=11211. Условие выполнено.
