Для студентов Для учителей

Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГКР 06.04.2023

В основании пирамиды

SABCD

лежит параллелограмм

ABCD

. На боковых рёбрах

SA

,

SC

и

SD

отмечены точки

K,\ L

и

M

соответственно так, что

SK: KA= SL: LC = 2:1

и

SM = MD

.

a) Докажите, что плоскость

KML

содержит точку

B

.

б) Найдите объём пирамиды

BAKMD

, если площадь параллелограмма

ABCD

равна 21, а высота пирамиды

SABCD

равна 12.

Решение

а) Пусть

CD \cap ML = P

,

AD \cap KM = T

.

По теореме Менелая для

\triangle SDC

и секущей

MP

:

\dfrac{DM}{MS} \cdot \dfrac{SL}{LC} \cdot \dfrac{CP}{PD} = 1, \quad \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{CP}{PD} = 1, \quad \dfrac{CP}{PD} = \dfrac{1}{2}.

Получаем, что точка

C

— середина

DP

.
По теореме Менелая для

\triangle SAD

и секущей

TM

:

\dfrac{DM}{MS} \cdot \dfrac{SK}{KA} \cdot \dfrac{AT}{TD} = 1, \quad \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{AT}{TD} = 1, \quad \dfrac{AT}{TD} = \dfrac{1}{2}.

Получаем, что точка

A

— середина

TD

.
Так как

BC = \dfrac{1}{2}TD

и

BC \parallel TD

, то

BC

— средняя линия

\triangle PTD

, значит,

B

— середина

PT

, то есть

B\in (KML)

, ч.т.д.

б) Заметим, что

V_{SABD} = \dfrac{1}{2}V_{SABCD}

, так как они имеют общую высоту из вершины

S

и

S_{ABD} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}

.
Так как у треугольников

SMK

и

SAD

угол

S

— общий, то справедливо отношение площадей:

\dfrac{S_{\triangle SMK}}{S_{\triangle SAD}} = \dfrac{SK \cdot SM}{SA \cdot SD} = \dfrac{\dfrac{2}{3}SA \cdot \dfrac{1}{2}SD}{SA \cdot SD} = \dfrac{1}{3}, \quad S_{\triangle SMK} = \dfrac{1}{3}S_{\triangle SAD}, \quad S_{AKMD} = \dfrac{2}{3}S_{\triangle SAD}.

Пирамиды

BAKMD

и

SABD

имеют общую высоту, а также

S_{AKMD} = \dfrac{2}{3}S_{\triangle SAD}

, значит:

V_{BAKMD} = \dfrac{2}{3}V_{SABD} = \dfrac{1}{3}V_{SABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 21 \cdot 12 = 28.

Ответ: 28.