В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA,SC и SD отмечены точки K,L и M соответственно так, что SK:KA=SL:LC=2:1 и SM=MD.
a) Докажите, что плоскость KML содержит точку B.
б) Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 21, а высота пирамиды SABCD равна 12.
Решение
а) Пусть CD∩ML=P,AD∩KM=T.
По теореме Менелая для △SDC и секущей MP: MSDM⋅LCSL⋅PDCP=1,11⋅12⋅PDCP=1,PDCP=21. Получаем, что точка C -- середина DP. По теореме Менелая для △SAD и секущей TM: MSDM⋅KASK⋅TDAT=1,11⋅12⋅TDAT=1,TDAT=21. Получаем, что точка A -- середина TD. Так как BC=21TD и BC∥TD, то BC -- средняя линия △PTD, значит, B -- середина PT, то есть B∈(KML), ч.т.д.
б) Заметим, что VSABD=21VSABCD, так как они имеют общую высоту из вершины S и SABD=21SABCD. Так как у треугольников SMK и SAD угол S -- общий, то справедливо отношение площадей:
S△SADS△SMK=SA⋅SDSK⋅SM=SA⋅SD32SA⋅21SD=31,S△SMK=31S△SAD,SAKMD=32S△SAD.
Пирамиды BAKMD и SABD имеют общую высоту, а также SAKMD=32S△SAD, значит:
VBAKMD=32VSABD=31VSABCD=31⋅31⋅21⋅12=28. Ответ: 28.
