Показательное уравнение с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, для каждого из которых уравнение

25^x-(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x-(a+6)(3|a|+5)

имеет единственное решение.

Решение

Преобразуем уравнение:

25^x - (a+6)5^x - (5+3|a|)5^x + (a+6)(3|a|+5) = 0;\\ 5^x\bigl(5^x - (a+6)\bigr) - (5+3|a|)\bigl(5^x - (a+6)\bigr) = 0ж\\ \bigl(5^x - (a+6)\bigr)\bigl(5^x - (5+3|a|)\bigr) = 0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[ \begin{aligned} &5^x = a + 6, \\ &5^x = 3|a| + 5. \end{aligned} \right.

Рассмотрим первое уравнение. Так как

5^x > 0

при любом

x

, то уравнение имеет решение только при

a + 6 > 0

, то есть при

a > -6

. При этом решение единственно, поскольку функция

y = 5^x

строго монотонна.

Рассмотрим второе уравнение. Поскольку

3|a| + 5 > 0

при любом

a

, это уравнение всегда имеет единственное решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение в следующих случаях:

1) Значения

a + 6

3|a| + 5

совпадают:

a + 6 = 3|a| + 5 \quad\Rightarrow\quad 3|a| - a - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} a = -\dfrac{1}{4},\\[1.5mm] a = \dfrac{1}{2}. \end{array} \right.

2) Первое уравнение совокупности не имеет решений. Это происходит при

a\in (-\infty; -6]

.

Ответ:

(-\infty; -6] \cup \left\{ -\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2} \right\}

Похожие задачи