В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки B1 и C1, причём BB1 – образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
a) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1, если AB=21,BB1=12,B1C1=16.
Решение
а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую AC1. Пусть она пересекает основание цилиндра в точке C. Получаем, что CC1 - образующая, а AC пересекает ось цилиндра, то есть проходит через центр нижнего основания.
Тогда AC - диаметр, а ∠ABC=90∘ как вписанный и опирающийся на диаметр. CC1⊥ABC⇒CC1⊥AB. Так как CC1⊥AB и BC⊥AB, то AB⊥BCC1, тогда AB⊥C1B⇒∠ABC1=90∘. Что и требовалось доказать.
б) Так как BB1C1C - прямоугольник (BB1 и CC1 - образующие, BB1=CC1,BB1∥CC1,CC1⊥AB), то BC=B1C1=16.
По теореме Пифагора в △BCC1:BC1=CC12+BC2=122+162=20. По теореме Пифагора в △ABC1:AC1=AB2+BC12=212+202=29. ρ(B;AC1)=BH - высота прямоугольного треугольника ABC1, тогда:
BH=AC1AB⋅BC1=2921⋅20=29420. Ответ б) 29420.
