Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(3+2∣x+a∣)3−(3+2∣x+a∣)2=(7−x2−2ax−2a2)3−(7−x2−2ax−2a2)2 имеет хотя бы один корень.
Решение
Пусть t=3+2∣x+a∣,s=7−x2−2ax−2a2, тогда уравнение примет вид: t3−t2=s3−s2. Пусть f(z)=z3−z2, тогда уравнение имеет вид f(t)=f(s). Рассмотрим f(z): f′(z)=3z2−2z;f′=0:z(3z−2)=0,z=0,z=32;
f(0)=0,f(32)=278−94=−274. Заметим, что t=3+2∣x+a∣≥3, а при z≥3 f(z) монотонно возрастает,
тогда из уравнения f(t)=f(s) следует, что t=s. Получим:
3+2∣x+a∣=7−x2−2ax−2a2;2∣x+a∣+x2+2ax+a2+a2−4=0;2∣x+a∣+(x+a)2+a2−4=0.(1) Это уравнение должно иметь решения.
Пусть ∣x+a∣=p,p⩾0, тогда уравнение (1) перепишется в виде:
2p+p2+a2−4=0. Уравнение (1) будет иметь решения, если
уравнение p2+2p+a2−4=0 имеет хотя бы один
неотрицательный корень.
p2+2p+1+a2=5, (p+1)2+a2=5 -- уравнение окружности с центром (−1;0) и R=5 в системе Opa.
Найдём точки пересечения окружности
с осью Oa: p=0,12+a2=5,a=±2. Запустив горизонтальную считывающую прямую, найдём, при каких значениях a она пересекает дугу окружности в рассматриваемой области. Получим: a∈[−2;2]. Ответ: a∈[−2;2].
