Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачиСтатГрад 02.10.2024

В июле

2025

года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на

20\%

по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая
сумма платежей после полного погашения кредита на

54 040

рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение

Пусть

S

рублей — сумма кредита. Коэффициент увеличения долга:

k = 1 + \dfrac{20}{100}=\dfrac{6}{5}

. Ежегодная выплата равна

x

рублей.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\text{Год} & \text{Долг на начало года} & \text{Долг после начисления} & \text{Выплата} & \text{Долг на конец года} \\[0.8em]\hline2025 & S & Sk & x & Sk - x \\\hline2026 & Sk - x & (Sk - x)\cdot k & x & (Sk - x)\cdot k - x \\\hline2027 & (Sk - x)\cdot k - x & ((Sk - x)\cdot k - x) \cdot k & x & ((Sk - x)\cdot k - x) \cdot k - x \\\hline\end{array}

В конце 3-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение:

((Sk - x)\cdot k -x) \cdot k - x = 0.

Решим:

Sk^3 - xk^2-xk-x = 0;

Sk^3 -x(k^2+k+1)=0;

x = \dfrac{Sk^3}{k^2+k+1}.

Общая сумма выплат составляет

3x

. По условию эта сумма на

54040

рублей больше взятой суммы:

3x - S = 54040

Подставим выражение для

x

3\cdot \dfrac{Sk^3}{k^2+k+1} - S = 54040.

Вычислим

k^3

k^2+k+1

k = \dfrac{6}{5}, \quad k^2 = \dfrac{36}{25}, \quad k^3 = \dfrac{216}{125};

k^2+k+1 = \dfrac{36}{25} + \dfrac{6}{5} + 1 = \dfrac{36+30+25}{25} = \dfrac{91}{25}.

Тогда

\dfrac{k^3}{k^2+k+1} = \dfrac{216}{125} \cdot \dfrac{25}{91} = \dfrac{216}{455}.

Уравнение принимает вид:

3S \cdot \dfrac{216}{455} -S = 54040; \quad | \cdot 455

3S \cdot 216 - 455S = 54040 \cdot 455;

648S - 455S = 54040 \cdot 455;

193S = 54040 \cdot 455;

S = \dfrac{54040 \cdot 455}{193} = 280 \cdot 455 = 127400.

Таким образом, сумма кредита равна

127400

рублей.

Ответ:

127400

рублей.

Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи