Задачи с сюжетом — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чисел

ФИПИ

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Решение

а) Средний балл был 10, стал 1 — уменьшился в 10 раз. Пример:

В школе №1 два ученика: один с баллом 1, другой с баллом 19. Средний балл

(1+19):2 = 10

. В школе №2 семь учеников, например, все с баллами 1. Средний балл 1.

Ученик с баллом 19 переходит из школы №1 в школу №2. Тогда в школе №1 остаётся один ученик с баллом 1, средний балл становится равен 1. Уменьшение в 10 раз.

б) Если первоначальный средний балл в школе №2 равен 7, то после уменьшения на 10\% он станет

6,3 = \dfrac{63}{10}

. Но новый средний равен

\dfrac{S_2 + x}{n+1}

, где

n

— число учеников в школе №2 первоначально,

n \geqslant 2

. Так как всего учеников 9, то

n \leqslant 7

, значит

n+1 \leqslant 8

. Дробь

\dfrac{63}{10}

несократима и имеет знаменатель 10, а новый средний имеет знаменатель

n+1 \leqslant 8

. Равенство возможно только если

63/10

сократима до знаменателя

\leqslant 8

, но 63 и 10 взаимно просты. Противоречие.

в) Пусть суммы баллов в первой и второй школе равны

S_1

S_2

соответственно. Если ученик уходит из школы №1 и средний балл падает, значит, его балл больше среднего балла школы №1. Если ученик приходит в школу №2 и средний балл падает, значит, его балл меньше среднего балла школы №2. Получаем:

A < x < B,

где

A

B

— первоначальные средние баллы (целые числа),

x

— балл ушедшего ученика.

При этом средний балл в школе №1 не может быть равен 1, так как если бы все написали на 1, то балл не мог бы упасть. Значит,

A \geqslant 2

. Тогда из

A < B

получаем

B \geqslant 4

.

Проверим

B = 4

. Тогда после уменьшения на 10\% новый средний

B' = 3,6 = \dfrac{18}{5}

. Значит в школе №2 было

n

учеников, стало

n+1

, и

B' = \dfrac{S_2 + x}{n+1} = \dfrac{18}{5}

. Отсюда

n+1

кратно 5. Возможные

n+1 = 5

(тогда

n=4

) или

n+1 = 10

(но

n \leqslant 7

, поэтому только

n=4

). Тогда

S_2 + x = 18

. До прихода ученика в школе №2 было 4 ученика с суммой

S_2 = nB = 4 \cdot 4 = 16

. Значит

x = 18 - 16 = 2

.

Теперь школа №1: было

5

учеников. После ухода ученика с баллом

x=2

осталось 4 ученика. Новый средний

A' = 0,9A

. Но

A

целое,

A \geqslant 2

A < x = 2

. Получаем

A < 2

, но

A \geqslant 2

. Противоречие. Значит

B = 4

не подходит.

Проверим

B = 5

. Тогда

B' = 4,5 = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}

n+1 = 2

не подходит, т.к. если после прихода в новую школу стало

2

ученика, то изначально был всего

1

ученик, что противоречит условию.

Возьмём

n+1 = 4

, тогда

n=3

S_2 = nB = 15

S_2 + x = 18 \Rightarrow x = 3

. Тогда в первой школе было

9 - n = 6

учеников.

A' = 0,9A

, причём

A < x = 3

, значит

A = 2

(так как

A

целое и не меньше 2).

Пример реализации:

1) Школа №1: 6 учеников с баллами

1,1,1,1,5,3

(сумма 12, средний 2). Уходит ученик с баллом 3.
2) Школа №2: 3 ученика с баллами

5,5,5

(сумма 15, средний 5). Приходит ученик с баллом 3.

После перехода:

1) Школа №1:

1,1,1,1,5

(сумма 9, средний 1,8 = 90\% от 2).
2) Школа №2:

5,5,5,3

(сумма 18, средний 4,5 = 90\% от 5).

Все условия выполнены.

Значит, наименьшее

B = 5

.

Ответ: а) да; б) нет; в)

5.

Задачи с сюжетом — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи