В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Решение
а) Средний балл был 10, стал 1 — уменьшился в 10 раз. Пример:
В школе №1 два ученика: один с баллом 1, другой с баллом 19. Средний балл (1+19):2=10. В школе №2 семь учеников, например, все с баллами 1. Средний балл 1.
Ученик с баллом 19 переходит из школы №1 в школу №2. Тогда в школе №1 остаётся один ученик с баллом 1, средний балл становится равен 1. Уменьшение в 10 раз.
б) Если первоначальный средний балл в школе №2 равен 7, то после уменьшения на 10\% он станет 6,3=1063. Но новый средний равен n+1S2+x, где n — число учеников в школе №2 первоначально, n⩾2. Так как всего учеников 9, то n⩽7, значит n+1⩽8. Дробь 1063 несократима и имеет знаменатель 10, а новый средний имеет знаменатель n+1⩽8. Равенство возможно только если 63/10 сократима до знаменателя ⩽8, но 63 и 10 взаимно просты. Противоречие.
в) Пусть суммы баллов в первой и второй школе равны S1 и S2 соответственно. Если ученик уходит из школы №1 и средний балл падает, значит, его балл больше среднего балла школы №1. Если ученик приходит в школу №2 и средний балл падает, значит, его балл меньше среднего балла школы №2. Получаем:
A<x<B, где A и B — первоначальные средние баллы (целые числа), x — балл ушедшего ученика.
При этом средний балл в школе №1 не может быть равен 1, так как если бы все написали на 1, то балл не мог бы упасть. Значит, A⩾2. Тогда из A<B получаем B⩾4.
Проверим B=4. Тогда после уменьшения на 10\% новый средний B′=3,6=518. Значит в школе №2 было n учеников, стало n+1, и B′=n+1S2+x=518. Отсюда n+1 кратно 5. Возможные n+1=5 (тогда n=4) или n+1=10 (но n⩽7, поэтому только n=4). Тогда S2+x=18. До прихода ученика в школе №2 было 4 ученика с суммой S2=nB=4⋅4=16. Значит x=18−16=2.
Теперь школа №1: было 5 учеников. После ухода ученика с баллом x=2 осталось 4 ученика. Новый средний A′=0,9A. Но A целое, A⩾2 и A<x=2. Получаем A<2, но A⩾2. Противоречие. Значит B=4 не подходит.
Проверим B=5. Тогда B′=4,5=418=29.n+1=2 не подходит, т.к. если после прихода в новую школу стало 2 ученика, то изначально был всего 1 ученик, что противоречит условию.
Возьмём n+1=4, тогда n=3,S2=nB=15,S2+x=18⇒x=3. Тогда в первой школе было 9−n=6 учеников.
A′=0,9A, причём A<x=3, значит A=2 (так как A целое и не меньше 2).
Пример реализации:
1) Школа №1: 6 учеников с баллами 1,1,1,1,5,3 (сумма 12, средний 2). Уходит ученик с баллом 3.
2) Школа №2: 3 ученика с баллами 5,5,5 (сумма 15, средний 5). Приходит ученик с баллом 3.
После перехода:
1) Школа №1: 1,1,1,1,5 (сумма 9, средний 1,8 = 90\% от 2).
2) Школа №2: 5,5,5,3 (сумма 18, средний 4,5 = 90\% от 5).
