Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{(xy−2x+12)⋅y−2x+12=0,y=ax−10 имеет ровно два различных решения.
Решение
Рассмотрим первое уравнение системы:
(xy−2x+12)⋅y−2x+12=0⇔[xy−2x+12=0,y−2x+12=0,⇔⎩⎨⎧[xy−2x+12=0,y−2x+12=0,y−2x+12⩾0. Имеем:
1)
xy−2x+12=0⇒y=2−x12.(∗) Это уравнение задаёт гиперболу с асимптотами x=0 и y=2. 2) Уравнение y=2x−12 задаёт прямую, проходящую через точку (6;0), с угловым коэффициентом 2. Неравенство y⩾2x−12 задаёт полуплоскость выше прямой y=2x−12, включая границу.
3) Уравнение
y=ax−10(∗∗) задаёт пучок прямых (не считая прямую x=0), проходящих через точку (0;−10).
Если выполнено уравнение y=2x−12, то неравенство y⩾2x−12 выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:
⎩⎨⎧y=2−x12,y=ax−10,y⩾2x−12;(1){y=2x−12,y=ax−10.(2) Найдём пересечение прямой y=2x−12 и гиперболы y=2−x12: 2x−12=2−x12⇒2x2−12x=2x−12⇒x2−7x+6=0. По теореме Виета получаем:
x1=1,x2=6. При x1=1 получаем y1=−10. При x2=6 получаем y2=0. Следовательно, пересечение происходит в точках (1;−10) и (6;0).
В осях Oxy изобразим гиперболу (∗) и прямую y=2x−12, а также прямую (∗∗) в основных положениях.
I)
Найдём значение a, при котором прямая (∗∗) проходит через точку (1;−10): −10=a⋅1−10⇒a=0.
II) Найдём значение a, при котором прямая (∗∗) проходит через точку (6;0): 0=a⋅6−10⇒a=35.
III) Прямая (∗∗) параллельна прямой y=2x−12 при a=2.
IV) Найдем значения параметра a, при которых прямая (∗∗) имеет одну точку пересечения с гиперболой (∗∗): x(ax−10)−2x+12=0⇒ax2−12x+12=0. При a=0 это линейное уравнение, имеющее одно решение x=1. В этом случае прямая (∗∗) имеет уравнение y=−10, это соответствует положению (I).
При a=0 получаем квадратное уравнение. Получаем:
D=(−12)2−4⋅a⋅12=0⇒a=3. Таким образом, Прямая (∗∗) касается гиперболы (∗) при a=3.
Итого, получаем:
1) при a∈{0}∪(3;+∞) система имеет 1 решение;
2) при a∈(−∞;0)∪(0;35]∪{2;3} система имеет 2 решения;
3) при a∈(35;2)∪(2;3) система имеет 3 решения.
