Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,O− центр грани A1B1C1D1. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB И BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений являются их меньшими сторонами. AB и BC в 2 раза меньше соответственных больших сторон сечений.
а) Доказать, что ABCD -- квадрат.
б) Найти угол между плоскостью BOC и CA1.
Решение
а) Пусть F∈A1D1,E∈B1C1, а G∈C1D1,H∈A1B1. Так как плоскость (ABO) пересекает плоскости оснований по параллельным прямым, то AB∥EF. Аналогично получаем, что плоскость (BCO) пересекает основания параллелепипеда по параллельным прямым, то есть BC∥HG. Так как O -- центр верхнего основания, то точки E,F,H и G -- середины ребёр, которым они принадлежат.
Пусть AB=2x, а BC=2y, тогда HB1=x,EB1=y. Для △BB1H запишем теорему Пифагора:
BB12+HB12=BH2,BB12+x2=16y2.(1) Для △BB1E запишем теорему Пифагора:
BB12+EB12=BE2,BB12+y2=16x2.(2) Запишем разность (1)−(2): x2−y2=16y2−16x2,17x2=17y2,x=y. Получаем, что AB=CD, то есть ABCD -- квадрат, ч.т.д.
б) Пусть BH∩AA1=P. Опустим высоту A1T в прямоугольном треугольнике A1PH. Получаем, что A1T⊥BP по построению, а также A1T⊥BC, так как A1T∈(ABB1) и (ABB1)⊥(BCC1)), следовательно, A1T⊥(BOC). Значит, α=∠A1CT -- искомый угол.
Так как H -- середина ребра A1B1 и AB∥A1B1, то по обобщённой теореме Фалеса получаем, что A1 -- середина отрезка AP. \img{2}
В △BB1H по теореме Пифагора:
BB12+HB12=BH2,BB1=BH2−HB12=16x2−x2=x15. Так как A1P=BB1 и A1H=HB1, то △PA1H=△BB1H (по двум катетам), откуда получаем, что PH=BH=4x. По свойству высоты A1T, проведённой из вершины прямого угла в △A1PH: A1T=PHA1P⋅A1H=4xx15⋅x=4x15. Вычислим длину диагонали A1C: A1C=AB2+BC2+AA12=4x2+4x2+15x2=x23. Следовательно, sinα=A1CA1T=x234x15=42315, тогда α=arcsin42315. Ответ: arcsin42315.
Приведём решение пункта б) методом координат.
Пусть x=y=a. Тогда из пункта а) имеем BB1=15a. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B, ось абсцисс направим вдоль ребра BA, ось ординат направим вдоль ребра BC, ось аппликат направим вдоль ребра BB1.
В этой системе отсчёта верны координаты
B(0;0;0);C(−2a;2a;−a15);O(a;a;a15);A1(2a;0;a15);A1C(−2a;2a;−a15). Составим уравнение плоскости (BOC) в виде Ax+By+Cz+D=0: ⎩⎨⎧D=0,2aB+D=0,aA+aB+a15C+D=0;⎩⎨⎧D=0,B=0,A=−15⋅C. Запишем уравнение плоскости (BOC) и координаты её нормали:
−C15x+Cz=0;∣:C=0−15x+z=0;n(−15;0;1). Пусть φ -- искомый угол. Тогда по формуле угла между прямой и плоскостью получим:
sinφ=∣n∣⋅∣A1C∣∣n⋅A1C∣=15+0+1⋅4a2+4a2+15a2∣2a15−a15∣=42315. Таким образом, φ=arcsin42315.
