Тригонометрия, разложение на множители — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГЭ 2025 (досрок)

а) Решите уравнение

2\sin^2{x} + \sqrt{3}\sin{(2x+\pi)} + \sqrt{2}\sin{(x+2\pi)} = \sqrt{6}\cos{x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]

Решение

Упростим уравнение при помощи формул приведения:

\sin(2x + \pi) = -\sin{2x};\\ \sin(x + 2\pi) = \sin{x}.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

2\sin^2{x} - \sqrt{3}\sin{2x} + \sqrt{2}\sin{x} = \sqrt{6}\cos{x}.

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

2\sin^2{x} - 2\sqrt{3}\sin{x}\cos{x} + \sqrt{2}\sin{x} - \sqrt{6}\cos{x} = 0;\\ 2\sin{x}(\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x}) + \sqrt{2}(\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x}) = 0;\\ (2\sin{x} + \sqrt{2})(\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x}) = 0;\\ \left[ \begin{array}{l} 2\sin{x} = -\sqrt{2},\\ \sin{x} = \sqrt{3}\cos{x}, \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \sin{x} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\ \tg{x} = \sqrt{3}, \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\\[2mm] x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\\ x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попали следующие корни:

\dfrac{7\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{3}

.

Ответ: а)

-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\;-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \dfrac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{7\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{3}

Тригонометрия, разложение на множители — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи