б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [23π;3π].
Решение
Упростим уравнение при помощи формул приведения:
sin(2x+π)=−sin2x;sin(x+2π)=sinx. Тогда уравнение принимает следующий вид:
2sin2x−3sin2x+2sinx=6cosx. Используя формулу синуса двойного угла, получаем:
2sin2x−23sinxcosx+2sinx−6cosx=0;2sinx(sinx−3cosx)+2(sinx−3cosx)=0;(2sinx+2)(sinx−3cosx)=0;[2sinx=−2,sinx=3cosx,⇔sinx=−22,tgx=3,⇔x=−4π+2πk,x=−43π+2πk,x=3π+πk,k∈Z.
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [23π;3π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
