Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГКР 05.04.2024
Скопировать ссылку
cea99ed4
Решите неравенство
25
1
x
−
1
−
3
⋅
5
1
x
−
1
+
2
⩾
0.
25^{\frac{1}{x} - 1} - 3 \cdot 5^{\frac{1}{x} - 1} + 2 \geqslant 0.
2
5
x
1
−
1
−
3
⋅
5
x
1
−
1
+
2
⩾
0.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Пусть
5
1
x
−
1
=
t
5^{\frac{1}{x} - 1} = t
5
x
1
−
1
=
t
,
тогда неравенство примет вид:
t
2
−
3
t
+
2
⩾
0
;
t^2 - 3t + 2 \geqslant 0;
t
2
−
3
t
+
2
⩾
0
;
(
t
−
1
)
(
t
−
2
)
⩾
0
;
(t-1)(t-2) \geqslant 0;
(
t
−
1
)
(
t
−
2
)
⩾
0
;
(
5
1
x
−
1
−
1
)
(
5
1
x
−
1
−
2
)
⩾
0
;
\left(5^{\frac{1}{x} - 1}-1\right)\!\!\left(5^{\frac{1}{x} - 1}-2\right) \geqslant 0;
(
5
x
1
−
1
−
1
)
(
5
x
1
−
1
−
2
)
⩾
0
;
(
5
1
x
−
1
−
5
0
)
(
5
1
x
−
1
−
5
log
5
2
)
⩾
0.
\left(5^{\frac{1}{x} - 1}-5^{0}\right)\!\!\left(5^{\frac{1}{x} - 1}-5^{\log_52}\right) \geqslant 0.
(
5
x
1
−
1
−
5
0
)
(
5
x
1
−
1
−
5
l
o
g
5
2
)
⩾
0.
Учитывая, что
5
>
1
5 > 1
5
>
1
,
применим метод рационализации:
(
1
x
−
1
)
(
1
x
−
1
−
log
5
2
)
⩾
0
;
\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\!\!\left(\dfrac{1}{x}-1-\log_52\right) \geqslant 0;
(
x
1
−
1
)
(
x
1
−
1
−
lo
g
5
2
)
⩾
0
;
(
1
−
x
)
(
1
−
x
⋅
log
5
10
)
x
2
⩾
0
;
\dfrac{(1 -x)(1-x\cdot \log_5{10})}{x^2} \geqslant 0;
x
2
(
1
−
x
)
(
1
−
x
⋅
lo
g
5
10
)
⩾
0
;
(
x
−
1
)
(
x
⋅
log
5
10
−
1
)
x
2
⩾
0.
\dfrac{(x-1)(x\cdot \log_5{10}-1)}{x^2} \geqslant 0.
x
2
(
x
−
1
)
(
x
⋅
lo
g
5
10
−
1
)
⩾
0.
Решим полученное неравенство методом интервалов.
Получаем, что
x
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
log
10
5
]
∪
[
1
;
+
∞
)
x \in (-\infty; 0) \cup (0; \log_{10}5] \cup [1; +\infty)
x
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
lo
g
10
5
]
∪
[
1
;
+
∞
)
.
\par \medskip
Ответ:
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
log
10
5
]
∪
[
1
;
+
∞
)
(-\infty; 0) \cup (0; \log_{10}5] \cup [1; +\infty)
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
lo
g
10
5
]
∪
[
1
;
+
∞
)
.
