Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026СтатГрад 25.01.2018

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} 3x^2 + 3y^2 = 10xy, \\ (x - a)^2 + (y - a)^2 = 10a^4 \end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно переменной

y

3y^2-10xy+3x^2=0;

D=100x^2-4\cdot 3 \cdot 3x^2=64x^2;

y_1=\dfrac{10x+8x}{6}=3x, \quad y_2=\dfrac{10x-8x}{6}=\dfrac{x}{3}.

Первое уравнение задаёт в координатах

Oxy

пару прямых

y=\dfrac{1}{3}x

y=3x

, пересекающихся в точке

(0;0)

.
Второе уравнение при

a\not =0

задаёт окружность с центром

(a;a)

радиуса

\sqrt{10}a^2

, при

a=0

задаёт точку

(0;0)

.

Если

a=0

, то система имеет одно решение, значит,

a=0

не подходит.
Система имеет два решения, если:

1) Обе прямые касаются окружности. Это выполняется, если расстояния от центра окружности до обеих прямых равны радиусу.
2) Одна прямая имеет два пересечения с окружностью, а другая не пересекает её. Это выполняется, если расстояние от центра окружности до одной из прямых меньше радиуса, а до другой -- больше радиуса.

Расстояние от точки

M (x_{0}; y_{0})

до прямой

l

Ax+By+C=0

вычисляется по формуле:

\rho (M; l)=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

Рассмотрим прямую

y=3x

. Приведём уравнение к виду

l_1

3x-y=0

. Центр окружности имеет координаты

(a;a)

. Найдём, при каких

a

будет два пересечения:

\dfrac{|3a-a|}{\sqrt{1^2+3^2}}<\sqrt{10}a^2, \quad |2a|<10a^2, \quad 4a^2=100a^4\ | :4a^2>0;

1<25a^2, \quad (5a-1)(5a+1)>0.

$Изображение 1$

Таким образом, прямая

l_1

имеет:

1) два пересечения с окружностью при

a\in \left(-\infty; -\dfrac{1}{5}\right) \cup \left(\dfrac{1}{5}; +\infty \right)

;
2) одно пересечение (касание) с окружностью при

a=\pm \dfrac{1}{5}

;
3) не имеет общих точек с окружностью при

a\in \left(-\dfrac{1}{5}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{5} \right)

.

Рассмотрим прямую

y=\dfrac{x}{3}

. Приведём уравнение к виду

l_2

\dfrac{1}{3}x-y=0

. Центр окружности имеет координаты

(a;a)

. Найдём, при каких

a

будет два пересечения:

\dfrac{\left|\dfrac{1}{3}a-a\right|}{\sqrt{1^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}}<\sqrt{10}a^2, \quad \left|\dfrac{2}{3}a\right|<\dfrac{10}{3}a^2, \quad |a|<5a^2, \quad a^2<25a^4 | :a^2>0;

1<25a^2, \quad (5a-1)(5a+1)>0.

$Изображение 2$

Таким образом, прямая

l_2

имеет:

1) два пересечения с окружностью при

a\in \left(-\infty; -\dfrac{1}{5}\right) \cup \left(\dfrac{1}{5}; +\infty \right)

;
2) одно пересечение (касание) с окружностью при

a=\pm \dfrac{1}{5}

;
3) не имеет общих точек с окружностью при

a\in \left(-\dfrac{1}{5}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{5} \right)

.

Рассмотрим случай 1.
Прямая

l_1

касается окружности при

a=\pm \dfrac{1}{5}

l_2

касается окружности при

a=\pm \dfrac{1}{5}

, следовательно, оба значения подходят.
Рассмотрим случай 2.

2.1) Прямая

l_1

имеет два пересечения с окружностью, а

l_2

не пересекает окружность.

$Изображение 3$

$Изображение 4$

a\in \varnothing.

2.2) Прямая

l_2

имеет два пересечения с окружностью, а

l_1

не пересекает окружность.

$Изображение 5$

$Изображение 6$

a\in \varnothing.

Значит,

a=\pm \dfrac{1}{5}

.
Ответ:

a=\pm \dfrac{1}{5}

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи