Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026Ларин

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(x^2-7+\ln(x-a))^2=(x^2-7)^2+\ln^2(x-a)

имеет единственное решение на отрезке

[0;3]

Решение

Пусть

x^2-7=u

\ln(x-a)=v

. Тогда уравнение примет вид:

(u+v)^2=u^2+v^2, \quad u^2+2uv+v^2=u^2+v^2, \quad 2uv=0.

2\ln(x-a)\cdot (x^2-7)=0, \quad \left [\begin{gathered} \begin{cases} x^2-7=0, \\ x-a>0, \\ \end{cases} \quad (1) \\ \ln(x-a)=0. \qquad (2)\end{gathered} \right.

1 случай:

x^2-7=0, \quad x=\pm \sqrt{7}.

Заметим, что отрезку

[0;3]

принадлежит только

x=\sqrt{7}

, значит,

x=-\sqrt{7}

-- посторонний корень.

Найдём, при каких

a

корень

x=\sqrt{7}

удовлетворяет условию

x-a>0

\sqrt{7}-a>0, \quad a<\sqrt{7}.

2 случай:

\ln(x-a)=0, \quad x-a=1, \quad x=1+a.

Найдём, при каких

a

корень

x=1+a

принадлежит отрезку

[0;3]

0\le a+1\le 3, \quad -1\le a\le 2.

Рассмотрим совпадение корней

x=\sqrt{7}

x=a+1

a+1=\sqrt{7}, \quad a=\sqrt{7}-1.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:

$Изображение 1$

Получаем, что ровно одно решение будет при

a\in(-\infty;-1) \cup \{\sqrt{7}-1\}\cup (2;\sqrt{7})

.

Ответ:

a\in(-\infty;-1) \cup \{\sqrt{7}-1\}\cup (2;\sqrt{7})

Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи