Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Параметры100 параметров 2026Ларин
Найдите все значения параметра aaa, при каждом из которых уравнение
(x2−7+ln⁡(x−a))2=(x2−7)2+ln⁡2(x−a)(x^2-7+\ln(x-a))^2=(x^2-7)^2+\ln^2(x-a)(x2−7+ln(x−a))2=(x2−7)2+ln2(x−a)
имеет единственное решение на отрезке [0;3][0;3][0;3].

Решение

Пусть x2−7=ux^2-7=ux2−7=u, ln⁡(x−a)=v\ln(x-a)=vln(x−a)=v. Тогда уравнение примет вид:
(u+v)2=u2+v2,u2+2uv+v2=u2+v2,2uv=0.(u+v)^2=u^2+v^2, \quad u^2+2uv+v^2=u^2+v^2, \quad 2uv=0.(u+v)2=u2+v2,u2+2uv+v2=u2+v2,2uv=0.
2ln⁡(x−a)⋅(x2−7)=0,[{x2−7=0,x−a>0,(1)ln⁡(x−a)=0.(2)2\ln(x-a)\cdot (x^2-7)=0, \quad
\left [
\begin{gathered}
\begin{cases}
x^2-7=0, \\
x-a>0, \\
\end{cases} \quad (1) \\
\ln(x-a)=0. \qquad (2)
\end{gathered} \right.2ln(x−a)⋅(x2−7)=0,​{x2−7=0,x−a>0,​(1)ln(x−a)=0.(2)​
1 случай:
x2−7=0,x=±7.x^2-7=0, \quad x=\pm \sqrt{7}.x2−7=0,x=±7​.
Заметим, что отрезку [0;3][0;3][0;3] принадлежит только x=7x=\sqrt{7}x=7​, значит, x=−7x=-\sqrt{7}x=−7​ -- посторонний корень.

Найдём, при каких aaa корень x=7x=\sqrt{7}x=7​ удовлетворяет условию x−a>0x-a>0x−a>0:
7−a>0,a<7.\sqrt{7}-a>0, \quad a<\sqrt{7}.7​−a>0,a<7​.
2 случай:
ln⁡(x−a)=0,x−a=1,x=1+a.\ln(x-a)=0, \quad x-a=1, \quad x=1+a.ln(x−a)=0,x−a=1,x=1+a.
Найдём, при каких aaa корень x=1+ax=1+ax=1+a принадлежит отрезку [0;3][0;3][0;3]:
0≤a+1≤3,−1≤a≤2.0\le a+1\le 3, \quad -1\le a\le 2.0≤a+1≤3,−1≤a≤2.
Рассмотрим совпадение корней x=7x=\sqrt{7}x=7​ и x=a+1x=a+1x=a+1:
a+1=7,a=7−1.a+1=\sqrt{7}, \quad a=\sqrt{7}-1.a+1=7​,a=7​−1.
Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:
Изображение 1

Получаем, что ровно одно решение будет при a∈(−∞;−1)∪{7−1}∪(2;7)a\in(-\infty;-1) \cup \{\sqrt{7}-1\}\cup (2;\sqrt{7})a∈(−∞;−1)∪{7​−1}∪(2;7​).

Ответ: a∈(−∞;−1)∪{7−1}∪(2;7)a\in(-\infty;-1) \cup \{\sqrt{7}-1\}\cup (2;\sqrt{7})a∈(−∞;−1)∪{7​−1}∪(2;7​).