Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=3|x+7|-x^{2}-13x-42.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+7=0 \Rightarrow x=-7

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<-7

, тогда

|x+7|=-(x+7)

.
Получаем

y=- x^{2} - 16 x - 63

.

Случай

2

x\geqslant -7

, тогда

|x+7|=x+7

.
Получаем

y=- x^{2} - 10 x - 21

.

Таким образом:

y=\begin{cases}- x^{2} - 16 x - 63, & x<-7,\\- x^{2} - 10 x - 21, & x\geqslant -7.\end{cases}

В граничной точке

x=-7

проверим значения обеих формул:

y_1(-7)=- (-7)^{2} - 16\cdot (-7) - 63=0,\qquad y_2(-7)=- (-7)^{2} - 10\cdot (-7) - 21=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(-7; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} - 16 x - 63

имеем

a=-1

b=-16

c=-63

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-16}{2\cdot(-1)}=-8.

y_0=-1\cdot(-8)^2-16\cdot(-8)-63=1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-8; 1)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=- x^{2} - 10 x - 21

имеем

a=-1

b=-10

c=-21

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-10}{2\cdot(-1)}=-5.

y_0=-1\cdot(-5)^2-10\cdot(-5)-21=4.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-5; 4)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{0\} \cup\{1\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи