Постройте график функции y=−x2−13x+3∣x+7∣−42. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+7=0⇒x=−7.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<−7. Получаем y=−x2−16x−63.
Случай 2: x⩾−7. Получаем y=−x2−10x−21.
Таким образом: y={−x2−16x−63,−x2−10x−21,x<−7,x⩾−7. Вершина левой ветви: (−8;1), вершина правой ветви: (−5;4). Таблица значений для левой ветви:
x:−9,−8,−7 y:0,1,0
Таблица значений для правой ветви:
x:−7,−6,−5,−4 y:0,3,4,3
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{1}.
