Постройте график функции y=x2−7x−5∣x−3∣+12. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+−3=0⇒x=3.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<3. Получаем y=x2−2x−3.
Случай 2: x⩾3. Получаем y=x2−12x+27.
Таким образом: y={x2−2x−3,x2−12x+27,x<3,x⩾3. Вершина левой ветви: (1;−4), вершина правой ветви: (6;−9). Таблица значений для левой ветви:
x:1,2,3 y:−4,−3,0
Таблица значений для правой ветви:
x:3,4,5,6 y:0,−5,−8,−9
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{−4}∪{0}.
