Решите неравенство 0,125^x-644^2x-4^x+1+4⩽ 0. — Неравенства — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

НеравенстваЕГЭ 2025 (пересдача)

Решите неравенство

\dfrac{0,125^{x}-64}{4^{2x}-4^{x+1}+4} \leqslant 0.

Решение

По свойствам степеней:

0,125^x = 8^{-x};

4^{2x}-4^{x+1}+4 = (4^{x})^2-2\cdot2\cdot4^{x}+2^2.

Тогда неравенство примет вид:

\dfrac{8^{-x}-8^2}{(4^{x})^2-2\cdot2\cdot4^{x}+2^2} \leqslant 0;

\dfrac{8^{-x}-8^2}{(4^{x}-2)^2} \leqslant 0;

\dfrac{8^{-x}-8^2}{(4^{x}-4^{0,5})^2} \leqslant 0.

Учитывая, что

8 > 1

4 > 1

, воспользуемся методом рационализации:

\dfrac{-x-2}{(x-0,5)^2} \leqslant0;

\dfrac{x+2}{(x-0,5)^2} \geqslant0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 1$

Получаем, что

x\in[-2;\, 0,5) \cup (0,5;+\infty)

.
Ответ:

[-2; \, 0,5) \cup (0,5;+\infty)