В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A,B и C, а на окружности другого основания – точка C1, причём CC1 – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45∘,AB=23,CC1=26. a) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 60∘. б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1.
Решение
а) Так как AC - диаметр, тогда ∠ABC=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Значит, △ABC - прямоугольный и ∠ACB=∠CAB=45∘⇒△ABC - равнобедренный, AB=BC=23. Проведём AD∥BC, точка D - точка пересечения с нижним основанием.
Тогда ∠(AC1;BC)=∠(AC1;AD)=∠C1AD. ABCD - квадрат, поэтому AD=BC=23. Так как CC1 - Образующая, то CC1⊥CD, следовательно, △CC1D - прямоугольный. По теореме Пифагора:
C1D=CD2+CC12=(23)2+(26)2=12+24=6 Так как CD - проекция C1D на плоскость основания цилиндра и CD⊥AD, то C1D⊥AD по теореме о трёх перпендикулярах. В △AC1D: tg∠C1AD=ADC1D=236=3⇒∠C1AD=60∘. Что и требовалось доказать.
б) BC - проекция C1B на плоскость основания цилиндра, AB⊥BC⇒C1B⊥AB по теореме о трёх перпендикулярах. Следовательно, ρ(B;AC1)=BH - высота в прямоугольном треугольнике ABC1. По теореме в △BCC1:
BC1=BC2+CC12=(23)2+(26)2=12+24=6. По теореме в △ABC1: AC1=AB2+BC12=(23)2+62=12+36=43. Значит, BH=AC1AB⋅BC1=4323⋅6=3. Ответ: б) 3.
