В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Ответ:
Решение
Пусть основания равны a и b,b>a, а боковая сторона равна l. Так как в трапецию можно вписать окружность и она равнобедренная, 2l=a+b. Из периметра P=200 получаем l=50,a+b=100. По площади трапеции 1500=2a+b⋅h, значит h=30. После опускания высот получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой l и катетом h. Поэтому 2b−a=502−302=40, то есть b−a=80. Тогда a=10,b=90. Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований, поэтому расстояние до меньшего основания равно a+ba⋅h=10010⋅30=3.
