В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Ответ:
Решение
Пусть основания равны a и b,b>a, а боковая сторона равна l. Так как в трапецию можно вписать окружность и она равнобедренная, 2l=a+b. Из периметра P=160 получаем l=40,a+b=80. По площади трапеции 1280=2a+b⋅h, значит h=32. После опускания высот получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой l и катетом h. Поэтому 2b−a=402−322=24, то есть b−a=48. Тогда a=16,b=64. Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований, поэтому расстояние до меньшего основания равно a+ba⋅h=8016⋅32=532.
