Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x10+(a−2∣x∣)5+x2+a−2∣x∣=0 имеет более трёх различных решений.
Решение
Пусть x2=u,2∣x∣−a=v. Тогда уравнение примет вид
u5−v5+u−v=0;u5+u=v5+v. Пусть f(t)=t5+t. Тогда уравнение имеет вид f(u)=f(v).f(t) -- монотонно возрастающая функция как сумма монотонно возрастающих функций, значит, уравнение f(u)=f(v) равносильно уравнению u=v. Получаем:
x2=2∣x∣−a;∣x∣2−2∣x∣+a=0.(∗) Заметим, что данное уравнение может иметь не более 4 решений. Сделаем замену ∣x∣=t. Получаем уравнение
t2−2t+a=0.(∗∗) Тогда уравнение (∗) имеет более трёх решений (то есть ровно 4) тогда и только тогда, когда уравнение (∗∗) имеет ровно два положительных решения. Это выполняется при условии положительного дискриминанта, а также положительности суммы и произведения корней. Получаем:
⎩⎨⎧4−4a>0,2>0,a>0.⇔⎩⎨⎧a<1,a∈R,a>0.
