Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.
a) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=8,BC=15,AC=7.
Решение
а) Пусть M -- середина AB, тогда MD -- высота и медиана △BAD, тогда он равнобедренный. \par \medskip
Пусть ∠CAB=∠DBA=α.
По теореме о сумме углов в треугольнике BAD:∠BDA=180∘−2α.
Значит, ∠BDM=2∠BDA=90∘−α.
Так как OP -- радиус, проведённый в точку касания, то OP⊥AD. Следовательно, в △PKA∠PKA=90∘−α. ∠BKO=180∘−∠PKA=180∘−(90∘−α)=90∘+α. Получаем, что ∠BKO+∠BDO=180∘, значит, BDOK -- вписанный, ч.т.д.
б) Заметим, что AB2=BC2+AC2, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, △ABC -- прямоугольный.
BO -- биссектриса ∠BDM, значит, ∠OBM=2α. Из △ABC получаем:
cos∠A=cosα=ABAC=87. По формуле косинуса двойного угла:
cosα=2cos22α−1,87=2cos22α−1,cos22α=1615,cos2α=415,α∈(0∘;90∘). Из △OBM: OB=cos2αBM=154⋅4=1516. ∠BKO=90∘+α, значит, sin∠BKO=cosα=87.
Около △BOK описана та же окружность, что и около BDOK. Тогда по теореме синусов:
sin∠BKOBO=2R,R=2sin∠BKOBO=2⋅871516=1516⋅74=71564. Ответ: 71564.
