Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГКР 06.04.2023

Серединный перпендикуляр к стороне

AB

треугольника

ABC

пересекает сторону

AC

в точке

D

. Окружность с центром

O

, вписанная в треугольник

ADB

, касается отрезка

AD

в точке

P

, а прямая

OP

пересекает сторону

AB

в точке

K

.

a) Докажите, что около четырёхугольника

BDOK

можно описать окружность.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника

BDOK

,
если

AB=8

BC= \sqrt{15}

AC=7

Решение

а) Пусть

M

— середина

AB

, тогда

MD

— высота и медиана

\triangle BAD

, тогда он равнобедренный.
Пусть

\angle CAB = \angle DBA = \alpha

.

По теореме о сумме углов в треугольнике

BAD

\angle BDA = 180^{\circ} - 2\alpha

.

Значит,

\angle BDM = \dfrac{\angle BDA}{2} = 90^{\circ} - \alpha

.

Так как

OP

— радиус, проведённый в точку касания, то

OP \perp AD

. Следовательно, в

\triangle PKA

\angle PKA = 90^{\circ} - \alpha

\angle BKO = 180^{\circ} - \angle PKA = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = 90^{\circ} + \alpha.

Получаем, что

\angle BKO + \angle BDO = 180^{\circ}

, значит,

BDOK

— вписанный, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Заметим, что

AB^2 = BC^2 + AC^2

, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора,

\triangle ABC

— прямоугольный.

BO

— биссектриса

\angle BDM

, значит,

\angle OBM = \dfrac{\alpha}{2}

.
Из

\triangle ABC

получаем:

\cos \angle A = \cos \alpha = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{7}{8}.

По формуле косинуса двойного угла:

\cos \alpha = 2\cos^2\dfrac{\alpha}{2} - 1, \quad \dfrac{7}{8} = 2\cos^2\dfrac{\alpha}{2} - 1, \quad \cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{15}{16}, \quad \cos\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}, \quad \alpha \in (0^{\circ}; 90^{\circ}).

Из

\triangle OBM

OB = \dfrac{BM}{\cos \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{15}} \cdot 4 = \dfrac{16}{\sqrt{15}}.

\angle BKO = 90^{\circ} + \alpha

, значит,

\sin \angle BKO = \cos \alpha = \dfrac{7}{8}

$Изображение 2$

Около

\triangle BOK

описана та же окружность, что и около

BDOK

. Тогда по теореме синусов:

\dfrac{BO}{\sin \angle BKO} = 2R, \quad R = \dfrac{BO}{2\sin \angle BKO} = \dfrac{\dfrac{16}{\sqrt{15}}}{2 \cdot \dfrac{7}{8}} = \dfrac{16}{\sqrt{15}}\cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{64}{7\sqrt{15}}.

Ответ:

\dfrac{64}{7\sqrt{15}}

Похожие задачи