Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром
окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC=34 и BD=30.
Решение
а)
Так как AC --- диаметр описанной окружности, то
∠ABC=90∘,∠ADC=90∘. Обозначим
AB=a,BC=b,CD=c,AD=d. Так как в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:
a+c=b+d. Кроме того, треугольники ABC и ADC прямоугольные, и у них общая гипотенуза AC. Поэтому
a2+b2=AC2,c2+d2=AC2, откуда
a2+b2=c2+d2. Тогда:
a2−c2=d2−b2,(a−c)(a+c)=(d−b)(d+b), Но a+c=b+d, значит,
a−c=d−b. Получаем систему
{a+ca−c=b+d,=d−b. Складывая эти равенства, получаем
2a=2d, a=d. Тогда из равенства a+c=b+d следует, что
c=b. Итак, AB=AD,BC=CD.
Теперь рассмотрим △ABC и △ADC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников.
Тогда ∠BAC=∠CAD, то есть AC --- биссектриса угла DAB.
Но △DAB равнобедренный, так как AB=AD. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является высотой. Следовательно,
AC⊥BD.
б) Обозначим через O точку пересечения диагоналей.
Кроме того, треугольник DAB равнобедренный, а AC является в нём высотой к основанию BD. Значит, точка O --- середина отрезка BD, поэтому
BO=DO=2BD=15. Для нахождения радиуса вписанной в ABCD окружности воспользуемся формулой:
r=pABCDSABCD. Найдём площадь четырёхугольника ABCD через полупроизведение диагоналей:
SABCD=21⋅AC⋅BD=21⋅34⋅30=510.
Поэтому осталось найти полупериметр.
Пусть AO=x. Тогда OC=34−x.
В прямоугольном △ABC отрезок BO является высотой, проведённой к гипотенузе AC, поэтому
BO2=AO⋅OC. Получаем
152=x(34−x),225=34x−x2,x2−34x+225=0.x=9илиx=25. Возьмём
AO=25,OC=9. Тогда
AB=AO2+BO2=252+152=625+225=850=534,BC=OC2+BO2=92+152=81+225=306=334. Так как AB=AD,BC=CD, то полупериметр равен
p=AB+BC=534+334=834. Следовательно,
r=834510=434255. Ответ: 434255.
