Окружности — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияСтатГрад 31.01.2024

Четырёхугольник

ABCD

вписан в окружность, причём диаметром
окружности является его диагональ

AC

. Также известно, что в

ABCD

можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки

AC

BD

перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника

ABCD

, если

AC=34

BD=30

Решение

а)
Так как

AC

— диаметр описанной окружности, то

\angle ABC=90^\circ,\qquad \angle ADC=90^\circ.

Обозначим

AB=a,\quad BC=b,\quad CD=c,\quad AD=d.

Так как в четырёхугольник

ABCD

можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

a+c=b+d.

Кроме того, треугольники

ABC

ADC

прямоугольные, и у них общая гипотенуза

AC

. Поэтому

a^2+b^2=AC^2,\qquad c^2+d^2=AC^2,

откуда

a^2+b^2=c^2+d^2.

Тогда:

a^2-c^2=d^2-b^2,\\ (a-c)(a+c)=(d-b)(d+b),

Но

a+c=b+d,

значит,

a-c=d-b.

Получаем систему

\left\{ \begin{aligned} a+c&=b+d,\\ a-c&=d-b. \end{aligned} \right.

Складывая эти равенства, получаем

2a=2d,

a=d.

Тогда из равенства

a+c=b+d

следует, что

c=b.

Итак,

AB=AD,\qquad BC=CD.

Теперь рассмотрим

\triangle ABC

\triangle ADC

. Они равны по третьему признаку равенства треугольников.

Тогда

\angle BAC=\angle CAD,

то есть

AC

— биссектриса угла

DAB

.

Но

\triangle DAB

равнобедренный, так как

AB=AD

. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является высотой. Следовательно,

AC\perp BD.

б) Обозначим через

O

точку пересечения диагоналей.

Кроме того, треугольник

DAB

равнобедренный, а

AC

является в нём высотой к основанию

BD

. Значит, точка

O

— середина отрезка

BD

, поэтому

BO=DO=\frac{BD}{2}=15.

Для нахождения радиуса вписанной в

ABCD

окружности воспользуемся формулой:

r = \frac{S_{ABCD}}{p_{ABCD}}.

Найдём площадь четырёхугольника

ABCD

через полупроизведение диагоналей:

S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot 34\cdot 30=510.

Поэтому осталось найти полупериметр.

Пусть

AO=x.

Тогда

OC=34-x.

В прямоугольном

\triangle ABC

отрезок

BO

является высотой, проведённой к гипотенузе

AC

, поэтому

BO^2=AO\cdot OC.

Получаем

15^2=x(34-x),\\ 225=34x-x^2,\\ x^2-34x+225=0.\\ x=9 \quad \text{или} \quad x=25.

Возьмём

AO=25,\qquad OC=9.

Тогда

AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{25^2+15^2}=\sqrt{625+225}=\sqrt{850}=5\sqrt{34},\\ BC=\sqrt{OC^2+BO^2}=\sqrt{9^2+15^2}=\sqrt{81+225}=\sqrt{306}=3\sqrt{34}.

Так как

AB=AD,\qquad BC=CD,

то полупериметр равен

p=AB+BC=5\sqrt{34}+3\sqrt{34}=8\sqrt{34}.

Следовательно,

r=\frac{510}{8\sqrt{34}}=\frac{255}{4\sqrt{34}}.

Ответ:

\dfrac{255}{4\sqrt{34}}

Окружности — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи