Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(∣x+2∣+∣x−a∣)2−5⋅(∣x+2∣+∣x−a∣)+3a(5−3a)=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Пусть ∣x+2∣+∣x−a∣=t, тогда уравнение примет вид
t2−5t+3a(5−3a)=0. Найдём его корни по теореме, обратной теореме Виета:
{t1⋅t2=3a(5−3a),t1+t2=5,[t=3a,t=5−3a,[∣x+2∣+∣x−a∣=3a,(1)∣x+2∣+∣x−a∣=5−3a.(2) Построим графики функций (1) и (2) в плоскости Oxa, используя метод областей.
Для этого изобразим границы областей x=−2 и a=x, в которых меняются знаки подмодульных выражений, а затем в каждой из четырёх полученных областей расставим знаки <<+>> или <<->>. Отметим, что первый знак отвечает за раскрытие модуля ∣x+2∣, а второй -- за раскрытие ∣x−a∣.
Теперь с учётом полученных знаков, рассмотрим функции (1) и (2):
Область <<++>>:
[x+2+x−a=3a,x+2+x−a=5−3a;[4a=2x+2,2a=3−2x;a=2x+1,a=23−2x. Область <<−−>>:
[−x−2−x+a=3a,−x−2−x+a=5−3a;[2a=−2x−2,4a=7+2x;a=−x−1,a=47+2x. Область <<+−>>:
[x+2−x+a=3a,x+2−x+a=5−3a;[4a=2,4a=3;a=2,a=43. Область <<−+>>:
[−x−2+x−a=3a,−x−2+x−a=5−3a;[4a=−2,2a=7;a=−21,a=27. Найдём точку пересечения функций a=2x+1 и a=x: 2x+1=x,x+1=2x,x=a=1. Найдём точку пересечения функций a=23−2x и a=x: 23−2x=x,3−2x=2x,x=a=43. Найдём точку пересечения функций a=−x−1 и x=−2: a=−(−2)−1=1. Найдём точку пересечения функций a=47+2x и x=−2: a=47+2⋅(−2)=43. Запустим горизонтальную считывающую прямую, количество точек её пересечения с полученным графиком соответствует количеству корней исходного уравнения.
Отметим на графике несколько положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I: прямая проходит через точку (43;43), тогда a=43. Положение II: прямая проходит через точку (1;1), тогда a=1. Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям ниже I и всем положениям выше II, не включая I и II.
Значит, a∈(−∞;43)∪(1;+∞). Ответ: a∈(−∞;43)∪(1;+∞).
