Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГЭ 2024 (резерв)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(|x+2|+|x-a|)^2-5\cdot (|x+2|+|x-a|)+3a(5-3a)=0

имеет ровно два различных решения.

Решение

Пусть

|x+2|+|x-a|=t

, тогда уравнение примет вид

t^2-5t+3a(5-3a)=0.

Найдём его корни по теореме, обратной теореме Виета:

\begin{cases} t_1\cdot t_2=3a(5-3a), \\ t_1 + t_2 = 5, \end{cases} \quad \left [\begin{gathered} t=3a, \\ t=5-3a, \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} |x+2|+|x-a|=3a, \quad (1) \\ |x+2|+|x-a|=5-3a. \quad (2)\end{gathered}\right.

Построим графики функций (1) и (2) в плоскости

Oxa

, используя метод областей.
Для этого изобразим границы областей

x=-2

a=x

, в которых меняются знаки подмодульных выражений, а затем в каждой из четырёх полученных областей расставим знаки <<+>> или <<->>. Отметим, что первый знак отвечает за раскрытие модуля

|x+2|

, а второй -- за раскрытие

|x-a|

$Изображение 1$

Теперь с учётом полученных знаков, рассмотрим функции (1) и (2):
Область <<

++

>>:

\left [\begin{gathered} x+2+x-a=3a, \\ x+2+x-a=5-3a; \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} 4a=2x+2, \\ 2a=3-2x; \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} a=\dfrac{x+1}{2}, \\ a=\dfrac{3-2x}{2}. \end{gathered}\right.

Область <<

--

>>:

\left [\begin{gathered} -x-2-x+a=3a, \\ -x-2-x+a=5-3a;\end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} 2a=-2x-2, \\ 4a=7+2x; \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} a=-x-1, \\ a=\dfrac{7+2x}{4}. \end{gathered}\right.

Область <<

+-

>>:

\left [\begin{gathered} x+2-x+a=3a, \\ x+2-x+a=5-3a; \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} 2a=2, \\ 4a=3; \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} a=1, \\ a=\dfrac{3}{4}. \end{gathered}\right.

Область <<

-+

>>:

\left [\begin{gathered} -x-2+x-a=3a, \\ -x-2+x-a=5-3a; \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} 4a=-2, \\ 2a=7; \end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} a=-\dfrac{1}{2}, \\ a=\dfrac{7}{2}. \end{gathered}\right.

Найдём точку пересечения функций

a=\dfrac{x+1}{2}

a=x

\dfrac{x+1}{2}=x, \quad x+1=2x, \quad x=a=1.

Найдём точку пересечения функций

a=\dfrac{3-2x}{2}

a=x

\dfrac{3-2x}{2}=x, \quad 3-2x=2x, \quad x=a=\dfrac{3}{4}.

Найдём точку пересечения функций

a=-x-1

x=-2

a=-(-2)-1=1.

Найдём точку пересечения функций

a=\dfrac{7+2x}{4}

x=-2

a=\dfrac{7+2\cdot (-2)}{4}=\dfrac{3}{4}.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, количество точек её пересечения с полученным графиком соответствует количеству корней исходного уравнения.
Отметим на графике несколько положений прямой и подпишем количество решений.

$Изображение 2$

Положение I: прямая проходит через точку

\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{4}\right)

, тогда

a=\dfrac{3}{4}

.
Положение II: прямая проходит через точку

(1;1)

, тогда

a=1

.
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям ниже I и всем положениям выше II, не включая I и II.
Значит,

a\in \left(-\infty; \dfrac{3}{4}\right) \cup (1; +\infty)

.
Ответ:

a\in \left(-\infty; \dfrac{3}{4}\right) \cup (1; +\infty)

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи