Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
{∣x∣+∣a∣<4,x2+16a≤8x+48 имеет хотя бы одно решение на отрезке [0;1].
Решение
Рассмотрим первое неравенство системы ∣x∣+∣a∣<4. На плоскости Oxa его решение будет ограничено линией,
задаваемой уравнением ∣x∣+∣a∣=4. ∣a∣=4−∣x∣,⎩⎨⎧[a=4−∣x∣,(1)a=∣x∣−4,(2)4−∣x∣⩾0.(3) (1) a=4−∣x∣ -- график этой функции получим из графика «галочки» y=∣x∣, которую зеркально отразили вниз относительно оси Ox, а затем подняли вверх на 4.
(2) a=∣x∣−4 -- график этой функции − «галочка»
y=∣x∣, которую опустили вниз на 4.
(3)4−∣x∣⩾0,∣x∣⩽4,x∈[−4;4].
Решением системы (1)−(3) на плоскости Oxa будет
квадрат. Он разбивает плоскость на две области (внутри квадрата и снаружи).
Возьмём точку (0;0). В ней неравенство
∣x∣+∣a∣<4 верно, так как ∣0∣+∣0∣<4. Возьмём точку (4;4) вне квадрата,
в ней неравенство ∣x∣+∣a∣<4 не
выполнено. Значит, решением первого неравенства является внутренняя часть квадрата ABCD без границы.
Рассмотрим второе неравенство:
x2+16a≤8x+48;a≤16−x2+8x+48. Его решение представляет собой
область под параболой a=16−x2+8x+48,xв=4,aв=4.
По условию x∈[0;1], выделим на рисунке полосу,
ограниченную вертикальными прямыми x=0 и x=1.
Найдём точки пересечения прямых x=0,x=1 с квадратом и параболой.
а) x=0: ∣x∣+∣a∣=4;∣a∣=4;a=±4;A(0;4),B(4;0). б) x=1: ∣x∣+∣a∣=4;1+∣a∣=4;∣a∣=3;a=±3;E(1;−3),F(1;3).
в) x=0: a=16−x2+8x+48;a=3;G(0;3.) г) x=1: a=16−x2+8x+48; a=1655; K(1;1655). Найдём точку пересечения прямой AB и параболы:
AB:{x+a=4,16a=−x2+8x+48;{a=4−x,64−16x=−x2+8x+48. x2−24x+16=0; D=242−4⋅16=576−64=512=162; x1,2=224±162=12±82; x1=12+82>4 — неподходит x2=12−82∈[0;1],таккак12−82=>0144−128<1; a=4−(12−82)=82−8; L(12−82;82−8). Решением системы будет область, ограниченная
отрезками CG,CE,EF,FL и дугой LG, причём
не включая отрезки LF и CE. Запустим горизонтальную считывающую прямую и найдём, при каких a она пересекает область решений хотя бы в одной точке.
Получим все значения a, начиная с точки C и заканчивая точкой L, не включая обе эти точки.
a∈(−4;82−8). Ответ: a∈(−4;82−8).
