Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{array}{l}(x+a y-5)(x+a y-5 a)=0, \\ x^2+y^2=16\end{array}\right.

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Первое уравнение системы равносильно совокупности двух прямых:

\left[ \begin{aligned} x + ay - 5 = 0,\\ x + ay - 5a = 0. \end{aligned} \right.

Следовательно, исходная система эквивалентна совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x + ay - 5 = 0, \\ x^2 + y^2 = 16, \end{cases} \\ &\begin{cases} x + ay - 5a = 0, \\ x^2 + y^2 = 16. \end{cases} \end{aligned}\right.

Обозначим:

\ell_1: x + ay - 5 = 0, \qquad \ell_2: x + ay - 5a = 0.

Решениями каждой из систем будут пересечения окружности радиуса

4

с центром в начале координат и прямой.

Прямые

\ell_1

\ell_2

параллельны и совпадают при

a = 1

. В этом случае исходная система может иметь не более двух решений. Поэтому далее будем рассматривать случай

a \neq 1

.

Условие того, что прямая пересекает окружность в двух различных точках, выражается неравенством: расстояние от центра окружности

O(0;0)

до прямой меньше радиуса

R = 4

окружности.

Расстояние от точки

(x_0; y_0)

до прямой

Ax + By + C = 0

вычисляется по формуле:

\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Найдём расстояние от точки

O(0;0)

до прямой

\ell_1

\rho_1 = \frac{|0 + a \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1 + a^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + a^2}}.

Прямая

\ell_1

и окружность имеют две точки пересечения, если выполнено следующее
неравенство:

\frac{5}{\sqrt{1 + a^2}} < 4 \quad\Rightarrow\quad 5 < 4\sqrt{1 + a^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{25}{16} < 1 + a^2 \quad\Rightarrow\quad a^2 > \frac{9}{16} \quad\Rightarrow\quad |a| > \frac{3}{4}.

Найдём расстояние от точки

O(0;0)

до прямой

\ell_2

\rho_2 = \frac{|0 + a \cdot 0 - 5a|}{\sqrt{1 + a^2}} = \frac{5|a|}{\sqrt{1 + a^2}}.

Прямая

\ell_2

и окружность имеют две точки пересечения, если выполнено следующее неравенство:

\frac{5|a|}{\sqrt{1 + a^2}} < 4 \quad\Rightarrow\quad 5|a| < 4\sqrt{1 + a^2} \quad\Rightarrow\quad 25a^2 < 16(1 + a^2) \quad\Rightarrow\quad 9a^2 < 16 \quad\Rightarrow\quad |a| < \frac{4}{3}.

Таким образом, исходная система имеет 4 различных решения при

a \in \left( -\frac{4}{3}; -\frac{3}{4} \right) \cup \left(\frac{3}{4}; 1\right)\cup\left(1; \frac{4}{3}\right).

Ответ:

\left( -\dfrac{4}{3}; -\dfrac{3}{4} \right) \cup \left(\dfrac{3}{4}; 1\right)\cup\left(1; \dfrac{4}{3}\right)

Похожие задачи