Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Параметры
ФИПИ
Найдите все значения aaa, при каждом из которых система уравнений
{(x+ay−5)(x+ay−5a)=0,x2+y2=16\left\{\begin{array}{l}(x+a y-5)(x+a y-5 a)=0, \\ x^2+y^2=16\end{array}\right.{(x+ay−5)(x+ay−5a)=0,x2+y2=16​
имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Первое уравнение системы равносильно совокупности двух прямых:
[x+ay−5=0,x+ay−5a=0.\left[
\begin{aligned}
x + ay - 5 = 0,\\
x + ay - 5a = 0.
\end{aligned}
\right.[x+ay−5=0,x+ay−5a=0.​
Следовательно, исходная система эквивалентна совокупности двух систем:
[{x+ay−5=0,x2+y2=16,{x+ay−5a=0,x2+y2=16.\left[
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x + ay - 5 = 0, \\
x^2 + y^2 = 16,
\end{cases} \\
&\begin{cases}
x + ay - 5a = 0, \\
x^2 + y^2 = 16.
\end{cases}
\end{aligned}
\right.​​{x+ay−5=0,x2+y2=16,​{x+ay−5a=0,x2+y2=16.​​
Обозначим:
ℓ1:x+ay−5=0,ℓ2:x+ay−5a=0.\ell_1: x + ay - 5 = 0, \qquad \ell_2: x + ay - 5a = 0.ℓ1​:x+ay−5=0,ℓ2​:x+ay−5a=0.
Решениями каждой из систем будут пересечения окружности радиуса 444 с центром в начале координат и прямой.

Прямые ℓ1\ell_1ℓ1​ и ℓ2\ell_2ℓ2​ параллельны и совпадают при a=1a = 1a=1. В этом случае исходная система может иметь не более двух решений. Поэтому далее будем рассматривать случай a≠1a \neq 1a=1.

Условие того, что прямая пересекает окружность в двух различных точках, выражается неравенством: расстояние от центра окружности O(0;0)O(0;0)O(0;0) до прямой меньше радиуса R=4R = 4R=4 окружности.

Расстояние от точки (x0;y0)(x_0; y_0)(x0​;y0​) до прямой Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0 вычисляется по формуле:
ρ=∣Ax0+By0+C∣A2+B2.\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.ρ=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​.
Найдём расстояние от точки O(0;0)O(0;0)O(0;0) до прямой ℓ1\ell_1ℓ1​:
ρ1=∣0+a⋅0−5∣1+a2=51+a2.\rho_1 = \frac{|0 + a \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1 + a^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + a^2}}.ρ1​=1+a2​∣0+a⋅0−5∣​=1+a2​5​.
Прямая ℓ1\ell_1ℓ1​ и окружность имеют две точки пересечения, если выполнено следующее
неравенство:
51+a2<4⇒5<41+a2⇒2516<1+a2⇒a2>916⇒∣a∣>34.\frac{5}{\sqrt{1 + a^2}} < 4 \quad\Rightarrow\quad 5 < 4\sqrt{1 + a^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{25}{16} < 1 + a^2 \quad\Rightarrow\quad a^2 > \frac{9}{16} \quad\Rightarrow\quad |a| > \frac{3}{4}.1+a2​5​<4⇒5<41+a2​⇒1625​<1+a2⇒a2>169​⇒∣a∣>43​.
Найдём расстояние от точки O(0;0)O(0;0)O(0;0) до прямой ℓ2\ell_2ℓ2​:
ρ2=∣0+a⋅0−5a∣1+a2=5∣a∣1+a2.\rho_2 = \frac{|0 + a \cdot 0 - 5a|}{\sqrt{1 + a^2}} = \frac{5|a|}{\sqrt{1 + a^2}}.ρ2​=1+a2​∣0+a⋅0−5a∣​=1+a2​5∣a∣​.
Прямая ℓ2\ell_2ℓ2​ и окружность имеют две точки пересечения, если выполнено следующее неравенство:
5∣a∣1+a2<4⇒5∣a∣<41+a2⇒25a2<16(1+a2)⇒9a2<16⇒∣a∣<43.\frac{5|a|}{\sqrt{1 + a^2}} < 4 \quad\Rightarrow\quad 5|a| < 4\sqrt{1 + a^2} \quad\Rightarrow\quad 25a^2 < 16(1 + a^2) \quad\Rightarrow\quad 9a^2 < 16 \quad\Rightarrow\quad |a| < \frac{4}{3}.1+a2​5∣a∣​<4⇒5∣a∣<41+a2​⇒25a2<16(1+a2)⇒9a2<16⇒∣a∣<34​.
Таким образом, исходная система имеет 4 различных решения при
a∈(−43;−34)∪(34;1)∪(1;43).a \in \left( -\frac{4}{3}; -\frac{3}{4} \right) \cup \left(\frac{3}{4}; 1\right)\cup\left(1; \frac{4}{3}\right).a∈(−34​;−43​)∪(43​;1)∪(1;34​).
Изображение 0

Ответ: (−43;−34)∪(34;1)∪(1;43)\left( -\dfrac{4}{3}; -\dfrac{3}{4} \right) \cup \left(\dfrac{3}{4}; 1\right)\cup\left(1; \dfrac{4}{3}\right)(−34​;−43​)∪(43​;1)∪(1;34​).