Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=2|x-4|-x^{2}+9x-20.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x-4=0 \Rightarrow x=4

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<4

, тогда

|x-4|=-(x-4)

.
Получаем

y=- x^{2} + 7 x - 12

.

Случай

2

x\geqslant 4

, тогда

|x-4|=x-4

.
Получаем

y=- x^{2} + 11 x - 28

.

Таким образом:

y=\begin{cases}- x^{2} + 7 x - 12, & x<4,\\- x^{2} + 11 x - 28, & x\geqslant 4.\end{cases}

В граничной точке

x=4

проверим значения обеих формул:

y_1(4)=- 4^{2} + 7\cdot 4 - 12=0,\qquad y_2(4)=- 4^{2} + 11\cdot 4 - 28=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(4; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} + 7 x - 12

имеем

a=-1

b=7

c=-12

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{7}{2\cdot(-1)}=3{,}5.

y_0=-1\cdot(3{,}5)^2+7\cdot(3{,}5)-12=0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(3{,}5; 0{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=- x^{2} + 11 x - 28

имеем

a=-1

b=11

c=-28

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{11}{2\cdot(-1)}=5{,}5.

y_0=-1\cdot(5{,}5)^2+11\cdot(5{,}5)-28=2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(5{,}5; 2{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{0\} \cup\{0{,}25\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи