Постройте график функции y=−x2+9x+2∣x−4∣−20. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+−4=0⇒x=4.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<4. Получаем y=−x2+7x−12.
Случай 2: x⩾4. Получаем y=−x2+11x−28.
Таким образом: y={−x2+7x−12,−x2+11x−28,x<4,x⩾4. Вершина левой ветви: (3,5;0,25), вершина правой ветви: (5,5;2,25). Таблица значений для левой ветви:
x:2,3,4 y:−2,0,0
Таблица значений для правой ветви:
x:4,5,6,7 y:0,2,2,0
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{0,25}.
