а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что nm−2⩽1001? б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что n2m2−2⩽100001? в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения nn+10−2 будет наименьшим.
Решение
а) Да, неравенство выполнено при m=71,n=50. \par\medskip
б) Неравенство n2m2−2⩽100001 равносильно двойному неравенству
−100001⩽n2m2−2⩽100001;n2m2−100001⩽2⩽n2m2+100001. Так как n<100, получим оценку
n2m2−n21<2<n2m2+n21;∣⋅n2>0m2−1<2n2<m2+1. Тогда получаем, что 2n2=m2, а это равенство невозможно в натуральных числах.
в) При увеличении n значение выражения nn+10=1+n10 увеличивается. Найдём n, при которых подмодульное выражение меняет знак. Заметим, что 1,41<2<1,42. Также заметим, что при n=25 добавка n10 равна 0,4, то есть подмодульное выражение принимает значение
2535−2<0. При n=24 подмодульное выражение принимает значение
2434−2>0 Таким образом, наименьшее значение выражение nn+10−2 принимает при n=24 или n=25. Сравним полученные значения:
2−2535>2434−2; 22>2434−2535=601; 8>36001. Таким образом, наименьшее значение будет при n=24. \par\medskip
Ответ: а) да; б) нет; в) 24.
