Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселЕГЭ 2026 (досрок)

а) Существуют ли двузначные натуральные числа

m

n

такие, что

\left| \dfrac{m}{n} - \sqrt{2} \right| \leqslant \dfrac{1}{100}?

б) Существуют ли двузначные натуральные числа

m

n

такие, что

\left| \dfrac{m^2}{n^2} - 2 \right| \leqslant \dfrac{1}{10000}?

в) Найдите все возможные значения натурального числа

n

, при каждом из которых значение выражения

\left| \dfrac{n + 10}{n} - \sqrt{2} \right|

будет наименьшим.

Решение

а) Да, неравенство выполнено при

m=71, \ n=50.

\par\medskip
б) Неравенство

\left| \dfrac{m^2}{n^2} - 2 \right| \leqslant \dfrac{1}{10000}

равносильно двойному неравенству

-\dfrac{1}{10000}\leqslant \dfrac{m^2}{n^2} - 2 \leqslant \dfrac{1}{10000}; \quad \dfrac{m^2}{n^2}-\dfrac{1}{10000}\leqslant2\leqslant\dfrac{m^2}{n^2}+\dfrac{1}{10000}.

Так как

n<100

, получим оценку

\dfrac{m^2}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}<2<\dfrac{m^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}; \quad |\cdot n^2>0\\m^2-1 < 2n^2 < m^2+1.

Тогда получаем, что

2n^2=m^2

, а это равенство невозможно в натуральных числах.
в) При увеличении

n

значение выражения

\dfrac{n+10}{n}=1+\dfrac{10}{n}

увеличивается. Найдём

n

, при которых подмодульное выражение меняет знак. Заметим, что

1,41<\sqrt{2}<1,42

.
Также заметим, что при

n=25

добавка

\dfrac{10}{n}

равна

0{,}4

, то есть подмодульное выражение принимает значение

\dfrac{35}{25}-\sqrt{2} <0.

При

n=24

подмодульное выражение принимает значение

\dfrac{34}{24}-\sqrt{2}>0

Таким образом, наименьшее значение выражение

\left| \dfrac{n + 10}{n} - \sqrt{2} \right|

принимает при

n=24

или

n=25.

Сравним полученные значения:

\sqrt{2}-\dfrac{35}{25} > \dfrac{34}{24}-\sqrt{2};

2\sqrt{2} >\dfrac{34}{24}-\dfrac{35}{25}=\dfrac{1}{60};

8>\dfrac{1}{3600}.

Таким образом, наименьшее значение будет при

n=24.

\par\medskip
Ответ: а) да; б) нет; в)

24

Похожие задачи