Показательное уравнение с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГКР 10.12.2024

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(a - 1) \cdot 9^x + (a - 13) \cdot 6^x = (2a - 14) \cdot 4^x

имеет единственный корень.

Решение

Разделим обе части уравнения на

4^x > 0

(a-1) \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x + (a-13) \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x - (2a-14) = 0.

Сделаем замену

\left(\frac{3}{2}\right)^x = t, \ t > 0

.

Каждому положительному значению

t

соответствует одно значение

x

, значит, уравнение

(a-1)t^2 + (a-13)t - (2a-14) = 0

должно иметь ровно один положительный корень.
При

a=1

уравнение линейное, подставим:

-12t + 12 = 0; \ t = 1 \text{ --- подходит.}

При

a \neq 1

найдём дискриминант:

D = (a-13)^2 + 4(a-1)(2a-14) = a^2 - 26a + 169 + 8a^2 - 56a - 8a + 56 = 9a^2 - 90a + 225 = (3a-15)^2;

t_1 = \frac{-a+13+3a-15}{2a-2} = \frac{2a-2}{2a-2} = 1, \quad t_2 = \frac{-a+13-3a+15}{2a-2} = \frac{-4a+28}{2a-2} = \frac{-2a+14}{a-1}.

t=1

является корнем при любом значении параметра, значит, корень

t = \dfrac{-2a+14}{a-1}

должен либо совпадать с

t=1

, либо не быть положительным. Случаю совпадения соответствует дискриминант равный нулю:

(3a-15)^2 = 0; \ 3a-15=0; \ a=5.

Найдём

a

, при которых

t = \dfrac{-2a+14}{a-1}

неположителен:

\dfrac{-2a+14}{a-1} \leqslant 0, \quad \dfrac{a-7}{a-1} \geqslant 0;

$Изображение 1$

a \in (-\infty; 1) \cup [7; +\infty).

Объединяя все случаи, получаем

a \in (-\infty; 1] \cup \{5\} \cup [7; +\infty)

.

Ответ:

a \in (-\infty; 1] \cup \{5\} \cup [7; +\infty)

Похожие задачи