Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(a−1)⋅9x+(a−13)⋅6x=(2a−14)⋅4x имеет единственный корень.
Решение
Разделим обе части уравнения на 4x>0: (a−1)⋅(49)x+(a−13)⋅(23)x−(2a−14)=0. Сделаем замену (23)x=t,t>0.
Каждому положительному значению t соответствует одно значение x, значит, уравнение (a−1)t2+(a−13)t−(2a−14)=0 должно иметь ровно один положительный корень.
При a=1 уравнение линейное, подставим:
−12t+12=0;t=1 — подходит. При a=1 найдём дискриминант:
D=(a−13)2+4(a−1)(2a−14)=a2−26a+169+8a2−56a−8a+56=9a2−90a+225=(3a−15)2; t1=2a−2−a+13+3a−15=2a−22a−2=1,t2=2a−2−a+13−3a+15=2a−2−4a+28=a−1−2a+14. t=1 является корнем при любом значении параметра, значит, корень t=a−1−2a+14 должен либо совпадать с t=1, либо не быть положительным. Случаю совпадения соответствует дискриминант равный нулю:
(3a−15)2=0;3a−15=0;a=5. Найдём a, при которых t=a−1−2a+14 неположителен:
a−1−2a+14⩽0,a−1a−7⩾0;
a∈(−∞;1)∪[7;+∞). Объединяя все случаи, получаем a∈(−∞;1]∪{5}∪[7;+∞).
