Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Параметры
100 параметров 2026
Профиматика
Скопировать ссылку
c5421244
Найдите все значения параметра
a
a
a
,
при каждом из которых уравнение
4
3
12
x
−
x
2
=
a
2
−
1
\dfrac{4}{3}\sqrt{12x-x^2}=a^2-1
3
4
12
x
−
x
2
=
a
2
−
1
имеет хотя бы одно решение.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
4
3
12
x
−
x
2
=
a
2
−
1
;
12
x
−
x
2
=
3
4
(
a
2
−
1
)
.
\dfrac{4}{3} \sqrt{12x - x^2} = a^2 - 1;\\[0.5em]
\quad \sqrt{12x - x^2} = \dfrac{3}{4}(a^2 - 1).
3
4
12
x
−
x
2
=
a
2
−
1
;
12
x
−
x
2
=
4
3
(
a
2
−
1
)
.
Пусть
b
=
3
4
(
a
2
−
1
)
b = \dfrac{3}{4}(a^2 - 1)
b
=
4
3
(
a
2
−
1
)
,
тогда уравнение примет вид
12
x
−
x
2
=
b
\sqrt{12x - x^2} = b
12
x
−
x
2
=
b
.
Уравнение
f
(
x
)
=
g
(
x
)
\sqrt{f(x)} = g(x)
f
(
x
)
=
g
(
x
)
равносильно системе:
{
f
(
x
)
=
g
2
(
x
)
,
g
(
x
)
⩾
0.
\begin{cases}
f(x) = g^2(x), \\
g(x) \geqslant 0.
\end{cases}
{
f
(
x
)
=
g
2
(
x
)
,
g
(
x
)
⩾
0.
Получим
{
12
x
−
x
2
=
b
2
,
(
1
)
b
⩾
0.
(
2
)
\begin{cases}
12x - x^2 = b^2, & (1) \\
b \geqslant 0. & (2)
\end{cases}
{
12
x
−
x
2
=
b
2
,
b
⩾
0.
(
1
)
(
2
)
(1)
x
2
−
12
x
+
b
2
=
0
x^2 - 12x + b^2 = 0
x
2
−
12
x
+
b
2
=
0
имеет решения, если
D
⩾
0
D \geqslant 0
D
⩾
0
.
D
=
12
2
−
4
b
2
=
(
12
−
2
b
)
(
12
+
2
b
)
;
(
12
−
2
b
)
(
12
+
2
b
)
⩾
0
;
∣
:
(
−
4
)
(
b
−
6
)
(
b
+
6
)
⩽
0
;
D = 12^2 - 4b^2 = (12 - 2b)(12 + 2b);\\[0.5em]
(12 - 2b)(12 + 2b) \geqslant 0; \ | : (-4)\\[0.5em]
(b - 6)(b + 6) \leqslant 0;
D
=
1
2
2
−
4
b
2
=
(
12
−
2
b
)
(
12
+
2
b
)
;
(
12
−
2
b
)
(
12
+
2
b
)
⩾
0
;
∣
:
(
−
4
)
(
b
−
6
)
(
b
+
6
)
⩽
0
;
b
∈
[
−
6
;
6
]
.
b \in [-6; 6].
b
∈
[
−
6
;
6
]
.
С учетом
(
2
)
b
∈
[
0
;
6
]
(2) \ b \in [0; 6]
(
2
)
b
∈
[
0
;
6
]
;
0
≤
b
≤
6
;
0
≤
3
4
(
a
2
−
1
)
≤
6
;
∣
⋅
4
3
{
a
2
−
1
≥
0
,
a
2
−
1
≤
8
;
{
(
a
−
1
)
(
a
+
1
)
≥
0
,
(
a
−
3
)
(
a
+
3
)
≤
0.
0 \le b \le 6;\\[0.5em]
0 \le \dfrac{3}{4}(a^2-1) \le 6; \quad \bigg| \cdot \dfrac{4}{3} \\[0.5em]
\begin{cases}
a^2 - 1 \ge 0, \\
a^2 - 1 \le 8;
\end{cases} \quad
\begin{cases}
(a-1)(a+1) \ge 0, \\
(a-3)(a+3) \le 0.
\end{cases}
0
≤
b
≤
6
;
0
≤
4
3
(
a
2
−
1
)
≤
6
;
⋅
3
4
{
a
2
−
1
≥
0
,
a
2
−
1
≤
8
;
{
(
a
−
1
)
(
a
+
1
)
≥
0
,
(
a
−
3
)
(
a
+
3
)
≤
0.
a
∈
[
−
3
;
−
1
]
∪
[
1
;
3
]
.
a \in [-3; -1] \cup [1; 3].
a
∈
[
−
3
;
−
1
]
∪
[
1
;
3
]
.
Ответ:
[
−
3
;
−
1
]
∪
[
1
;
3
]
.
[-3; -1] \cup [1; 3].
[
−
3
;
−
1
]
∪
[
1
;
3
]
.
